Алгебраическая независимость

Алгебраическая независимость — понятие теории расширений полей.

Пусть ${\displaystyle L}$ некоторое расширение поля ${\displaystyle K}$. Элементы ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ называются алгебраически независимыми, если для произвольного не равного тождественно нулю многочлена ${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ с коэффициентами из поля ${\displaystyle K}$

${\displaystyle P(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\neq 0}$.

В другом случае элементы ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ называются алгебраически зависимыми. Бесконечное множество элементов называется алгебраически независимым, если независимым является каждое его конечное подмножество, и называется зависимым в противном случае. Определение алгебраической независимости можно распространить на случай, когда ${\displaystyle L}$ — кольцо и ${\displaystyle K}$ — его подкольцо.

Пусть константы ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \pi }$ известны как трансцендентные, однако неизвестно, является ли их множество алгебраически независимым над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$^[1]. Неизвестно даже, иррационально ли ${\displaystyle \pi +e}$^[2]. Нестеренко доказал в 1996 году, что:

• числа ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle e^{\pi }}$ и ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ алгебраически независимы над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$^[3];
• числа ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {3}}}}$ и ${\displaystyle \Gamma (1/3)}$ алгебраически независимы над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$;
• для всех положительных целых чисел ${\displaystyle n}$, число ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ алгебраически независимы над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$^[4].

Подмножество ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }};2\pi +1\}}$ поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не является алгебраически независимым над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, поскольку многочлен ${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1}$ является нетривиальным с рациональными коэффициентами и ${\displaystyle P({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0}$.

• Теорема Линдемана — Вейерштрасса

• Chen, Johnny. Algebraically Independent (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.