Дополнительный код

Дополнительный код (англ. "two’s complement", иногда "twos-complement") — наиболее распространённый способ представления отрицательных целых чисел в компьютерах. Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел, что упрощает архитектуру ЭВМ. В англоязычной литературе «обратный код» (инверсия прямого кода) называют «первым дополнением» (англ. "ones' complement"), а «дополнительный код» называют «вторым дополнением» (англ. "two’s complement").

Дополнительный код для отрицательного числа можно получить инвертированием его двоичного модуля (получается "первое дополнение") и прибавлением к инверсии единицы (получается "второе дополнение"), либо вычитанием числа из нуля (сразу получается "второе дополнение").
Дополнительный код двоичного числа определяется как величина, полученная вычитанием числа из наибольшей степени двух (из $2^{N}$ для $N$ -битного второго дополнения).

История

То, что отрицательные числа в дополнительном коде можно складывать на сумматоре, было известно ещё во времена Паскаля, который и применил это свойство в своей суммирующей машине "Паскалина".

Представление отрицательного числа в дополнительном коде

При записи числа в дополнительном коде старший разряд является знаковым. Если значение старшего разряда равно 0, то это значит, что в остальных разрядах записано положительное двоичное число, совпадающее с прямым кодом.

Двоичное 8-разрядное число со знаком в дополнительном коде может представлять любое целое в диапазоне от −128 до +127. Если старший разряд равен нулю, то наибольшее целое число, которое может быть записано в оставшихся 7 разрядах, равно $2^{7}-1=127$ .

Примеры:

Десятичное представление	Двоичное представление (8 бит), код:
Десятичное представление	прямой	обратный	дополнительный
127	`0111 1111`	`0111 1111`	`0111 1111`
1	`0000 0001`	`0000 0001`	`0000 0001`
0	`0000 0000`	`0000 0000`	`0000 0000`
−0	`1000 0000`	`1111 1111`	—
−1	`1000 0001`	`1111 1110`	`1111 1111`
−2	`1000 0010`	`1111 1101`	`1111 1110`
−3	`1000 0011`	`1111 1100`	`1111 1101`
−4	`1000 0100`	`1111 1011`	`1111 1100`
−5	`1000 0101`	`1111 1010`	`1111 1011`
−6	`1000 0110`	`1111 1001`	`1111 1010`
−7	`1000 0111`	`1111 1000`	`1111 1001`
−8	`1000 1000`	`1111 0111`	`1111 1000`
−9	`1000 1001`	`1111 0110`	`1111 0111`
−10	`1000 1010`	`1111 0101`	`1111 0110`
−11	`1000 1011`	`1111 0100`	`1111 0101`
−127	`1111 1111`	`1000 0000`	`1000 0001`
−128	—	—	`1000 0000`

Дополнительный код в иной системе счисления

Тот же принцип можно использовать и в компьютерном представлении любой системы счисления, например, для десятичных чисел.

Преобразования на примере десятичной системы счисления^[1]

Положительное число

Изменение значений текущих разрядов числа не производится, но дописывается знаковый старший разряд, значение которого равно 0. Например число [+12'345] будет иметь следующее представление - [012'345]

Отрицательное число

Дописываем знаковый старший разряд, равный большей цифре данной системы счисления, в нашем случае - это 9, а также изменяем остальные разряды по определённому правилу; пусть значение цифры каждого разряда будет представлено переменной $x$ , кроме знакового, тогда представим следующий алгоритм действий:

Присвоим переменной $x$ новое значение, равное выражению $9-x$ (процесс получения обратного кода) - например отрицательное число [-12345] в прямом коде от старшего к младшему разряду будет иметь вид [9'12345], где $9$ - знаковая цифра, а в обратном представлении кода будет иметь следующий вид - [9'87654].
К результирующему числу прибавим $1$ , так число [9'87654] (первое дополнение) будет иметь вид [987'655] (доп. код).
Если возникла ситуация переноса разряда, в результате которого образовался новый разряд, то его (старший разряд) опускаем, а результирующее число считаем положительным. Результирующее положительное число будет одинаково представлено, как в прямом, так и в дополнительном коде. Например, имея возможность представить в таком виде отрицательный и положительный нуль, разберём их перевод в дополнительный код (1 знаковый и 4 дополнительных разряда):
- [+0] в прямом коде [0'0000]. Первое и второе дополнения равны [0'0000].
- [-0] в прямом коде [9'0000]. Первое дополнение - [9'9999]. При получении второго дополнения старший разряд числа [(1)0'0000] опускаем и получаем результирующее значение [0'0000], как у числа [+0].

Идея представления десятичного (как и любого другого) числа в дополнительном коде, идентична правилам для двоичной системы счисления и может использоваться в гипотетическом процессоре:

Привычное представление	Прямой код	Первое дополнение	Второе дополнение
...	...	...	...
+13	0'0013	0'0013	0'0013
+12	0'0012	0'0012	0'0012
+11	0'0011	0'0011	0'0011
+10	0'0010	0'0010	0'0010
+9	0'0009	0'0009	0'0009
+8	0'0008	0'0008	0'0008
...	...	...	...
+2	0'0002	0'0002	0'0002
+1	0'0001	0'0001	0'0001
+0	0'0000	0'0000	0'0000
-0	9'0000	9'9999	0'0000
-1	9'0001	9'9998	9'9999
-2	9'0002	9'9997	9'9998
-3	9'0003	9'9996	9'9997
-4	9'0004	9'9995	9'9996
...	...	...	...
-9	9'0009	9'9990	9'9991
-10	9'0010	9'9989	9'9990
-11	9'0011	9'9988	9'9989
-12	9'0012	9'9987	9'9988
-13	9'0013	9'9986	9'9987

Арифметика в дополнительном коде

Сложение и вычитание

Оба числа представляются в дополнительном коде. Дополнительный код обоих чисел имеет одинаковое количество разрядов. В данном представлении числа складываются.

Знаки разные: Если в процессе сложения образуется выходящий за пределы первоначальных чисел разряд, то он опускается. Результирующее значение считается положительным, где прямой и дополнительный коды являются идентичными. Иначе — отрицательным в виде дополнительного кода.

Например:

[1234] + [-78] → [0’1234] + [9’9922] = [(1)0’1156] = [1156].
[-1234] + [78] → [9’8766] + [0’0078] = [9’8844] = [-1156].

Знаки одинаковые:

Положительные числа. Разряд не опускается, результат положительный.
Отрицательные числа. Разряд опускается, результат отрицательный в дополнительном коде.

Например:

[1234] + [78] → [0’1234] + [0’0078] = [0’1312] = [1312].
[-1234] + [-78] → [9’8766] + [9’9922] = [(1)9’8688] → (первое дополнение) [0’1311] → (второе дополнение или обычное представление) [-1312]. При переводе из дополнительного кода в обычное представление результирующее значение является абсолютным.

Преобразование в дополнительный код

Из прямого в дополнительный код

Преобразование числа из прямого кода в дополнительный осуществляется по следующему алгоритму.

Если старший (знаковый) разряд числа, записанного в прямом коде, равен 0, то число положительное и никаких преобразований не делается;
Если старший (знаковый) разряд числа, записанного в прямом коде, равен 1, то число отрицательное, все разряды числа, кроме знакового, инвертируются, а к результату прибавляется 1.

Для примера преобразуем отрицательное число $-5$ , записанное в прямом коде, в дополнительный код.

Прямой код отрицательного числа $-5$ :
1000 0101

Инвертируем все разряды числа, кроме знакового, получая таким образом обратный код (первое дополнение) отрицательного числа $-5$ :
1111 1010
Добавим к результату $1$ , получая таким образом дополнительный код (второе дополнение) отрицательного числа $-5$ :
1111 1011

Изменение знака числа

Для преобразования отрицательного числа $-5$ , записанного в дополнительном коде, в положительное число $5$ , записанное в прямом коде, используется похожий алгоритм:

Инвертируем все разряды отрицательного числа $-5$ , получая таким образом положительное число 4 в прямом коде:
0000 0100
Добавив к результату $1$ получим положительное число $5$ в прямом коде:
0000 0101

И проверим, сложив получившееся записи $5$ и $-5$ :
0000 0101 + 1111 1011 = 0000 0000 (пятый и старше разряды выбрасываются)

p-адические числа

В системе p-адических чисел изменение знака числа осуществляется преобразованием числа в его дополнительный код. Например, если используется 5-ричная система счисления, то число, противоположное 0001₅ (1₁₀), равно 4444₅ (−1₁₀).

Реализация алгоритма нахождения модуля для дополнительного кода

TurboBasic

DEF FN TwosComplAbs%(a%)
    IF a% < 0 THEN a% = NOT(a% - 1)
    FN TwosComplAbs% = a%
END DEF

Pascal

function TwosComplAbs(a: integer): integer;
begin
    if (a < 0) then TwosComplAbs := (not a) + 1
    else TwosComplAbs := a;
end;

C/C++

int twos_compl_abs(int a) 
{
    if (a < 0) a = (~a) + 1;
    return a;
}

Реализация без ветвления

С помощью следующей формулы можно вычислить модуль числа без ветвления^[2]:

|a|=(a\ {\text{xor}}\ (a\ {\text{shr}}\ (n-1)))-(a\ {\text{shr}}\ (n-1))

,

где: ${\text{xor}}$ — Операция исключающего "или";
${\text{shr}}$ — Арифметический сдвиг вправо;
$n$ — Количество двоичных разрядов

Следующий код на языке Си вычисляет модуль по этой формуле:

int32_t fastabs32(int32_t num)
{
    int32_t mask = (num >> 31);
    return ((num ^ mask) - mask);
}

Преимущества и недостатки

Преимущества

Общие инструкции (процессора) для сложения, вычитания и левого сдвига для знаковых и беззнаковых чисел (различия только в арифметических флагах, которые нужно проверять для контроля переполнения в результате).
Отсутствие числа «минус ноль».

Недостатки

Представление отрицательного числа визуально не читается по обычным правилам, для его восприятия нужен особый навык или дополнительные вычисления для приведения в обычный вид.
В некоторых представлениях (например, двоично-десятичный код) или их составных частях (например, мантисса числа с плавающей запятой) дополнительное кодирование неудобно.
Модуль наибольшего числа не равен модулю наименьшего числа. Например, для восьмибитного целого со знаком, максимальное число: 127₁₀ = 01111111₂, минимальное число: -128₁₀ = 10000000₂. Соответственно, не для любого числа существует противоположное. Операция изменения знака может потребовать дополнительной проверки.

Пример программного преобразования

Если происходит чтение данных из файла или области памяти, где они хранятся в двоичном дополнительном коде (например, WAV файл), может оказаться необходимым преобразовать байты. Если данные хранятся в 8 битах, необходимо, чтобы значения 128-255 были отрицательными.

C# .NET / C style

byte b1 = 254; //11111110 (бинарное)
byte b2 = 121; //01111001 (бинарное)
byte c = 1<<(sizeof(byte)*8-1);  //2 возводится в степень 7. Результат: 10000000 (бинарное)
byte b1Conversion=(c ^ b1) - c;  //Результат: -2. А фактически, двоичный дополнительный код.
byte b2Conversion=(c ^ b2) - c;  //Результат остаётся 121, потому что знаковый разряд - ноль.

Расширение знака

Расширение знака (англ. sign extension^[en]) — операция над двоичным числом, которая позволяет увеличить разрядность числа с сохранением знака и значения. Выполняется добавлением цифр со стороны старшего значащего разряда. Если число положительное (старший разряд равен 0), то добавляются нули, если отрицательное (старший разряд равен 1) — единицы.

Пример

Примечание: Добавленные цифры подчёркнуты

Десятичное число	Двоичное число (8 разрядов)	Двоичное число (16 разрядов)
10	`0000 1010`	`0000 0000 0000 1010`
−15	`1111 0001`	`1111 1111 1111 0001`

См. также

Обратный код
Прямой код
Целый тип
Алгоритм Бута — специализированный алгоритм умножения для чисел в дополнительном коде

Литература

Behrooz Parhami. 2.3. Complement Representation, 2.4. Two's- and 1's-complement numbers // Computer Arithmetic: Algorithms and Hardware Designs. — New York: Oxford University Press, 2000. — P. 22-27. — 510 p. — ISBN 0-19-512583-5.
Самофалов К.Г., Романкевич А.М., Валуйский В.Н., Каневский Ю.С., Пиневич М.М. Прикладная теория цифровых автоматов. — Киев: Вища школа, 1987. — 375 с.

Примечания

↑ Florida Tech (неопр.). Дата обращения: 28 ноября 2020. Архивировано 8 октября 2016 года.
↑ Bit Twiddling Hacks (неопр.). graphics.stanford.edu. Дата обращения: 29 июня 2023. Архивировано 1 июня 2020 года.

[1] Florida Tech (неопр.). Дата обращения: 28 ноября 2020. Архивировано 8 октября 2016 года.

[2] Bit Twiddling Hacks (неопр.). graphics.stanford.edu. Дата обращения: 29 июня 2023. Архивировано 1 июня 2020 года.

[1]

[2]