Гипотеза Нагаты

Гипотеза Нагаты — доказанная математическая гипотеза, согласно которой автоморфизм Нагаты полиномиального кольца ${\displaystyle k[x,y,z]}$ является диким.

Выдвинута Масаёси Нагатой в 1972 году и доказана Иваном Шестаковым и его учеником Уалбаем Умирбаевым в 2004 году, за что соавторы получили премию Мура Американского математического общества в 2007 году.

Гипотеза формулируется для кольца многочленов ${\displaystyle C=k[x_{1},x_{2},...,x_{n}]}$ от переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ над полем ${\displaystyle k}$, и группы автоморфизмов ${\displaystyle \mathrm {Aut} \ C}$ как алгебры над ${\displaystyle k}$. Автоморфизм ${\displaystyle \tau \in \mathrm {Aut} \ C}$ называется элементарным, если он имеет вид:

${\displaystyle \tau$ :(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n})\rightarrow (x_{1},\ldots ,x_{i-1},\alpha x_{i}+f,x_{i+1},\ldots ,x_{n})} ,

где ${\displaystyle 0\neq \alpha \in F,f\in F[x_{1},...,x_{i-1},x_{i+1},...,x_{n}]}$. Подгруппа ${\displaystyle \mathrm {Aut} \ C}$, порождённая всеми элементарными автоморфизмами, называется ручной подгруппой, а элементы из этой подгруппы называются ручными автоморфизмами алгебры ${\displaystyle C}$. Автоморфизмы алгебры ${\displaystyle C}$, не являющиеся ручными, называются дикими.

Автоморфизмы колец многочленов и свободных ассоциативных алгебр от двух переменных являются ручными.

Автоморфизм Нагаты задаётся формулой:

${\displaystyle \phi (x,y,z)=(x-2\Delta y-\Delta ^{2}z,y+\Delta z,z)}$,

где ${\displaystyle \Delta =xz+y^{2}}$ и этот автоморфизм является диким.

Если же ${\displaystyle (a,b,c)=\phi (x,y,z)}$, то ${\displaystyle z=c}$ и ${\displaystyle \Delta =b^{2}+ac}$, здесь ${\displaystyle y=b-\Delta c}$ и ${\displaystyle x=a+2\Delta y+\Delta ^{2}z}$.

• Nagata, Masayoshi (1972), On automorphism group of k[x,y], Tokyo: Kinokuniya Book-Store Co. Ltd., MR 0337962
• Umirbaev, Ualbai U.; Shestakov, Ivan P. (2004), The tame and the wild automorphisms of polynomial rings in three variables, Journal of the American Mathematical Society, 17 (1): 197–227, doi:10.1090/S0894-0347-03-00440-5, ISSN 0894-0347, MR 2015334