Гипотеза Ферма — Каталана

Гипотеза Ферма — Каталана — теоретико-числовая гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Каталана. Она утверждает, что уравнение

${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}}$

имеет не более чем конечное число решений ${\displaystyle a,b,c,m,n,k}$ с различными тройками значений ${\displaystyle a^{m},b^{n},c^{k}}$, где ${\displaystyle a,b,c}$ — натуральные взаимно простые числа, а ${\displaystyle m,n,k}$ — натуральные числа, удовлетворяющие соотношению

${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.}$

На 2014-й год известно всего 10 решений этого уравнения:^[1]

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}$

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}}$

${\displaystyle 13^{2}+7^{3}=2^{9}}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}}$

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}}$

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}}$

${\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}}$

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}}$

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}}$

Решение ${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}$ — это единственное решение, в котором одно из ${\displaystyle a,b,c}$ равно 1. В этом состоит гипотеза Каталана, доказанная в 2006-м году Михайлеску.

Все решения были найдены для троек показателей ${\displaystyle m,n,k,}$ равных ${\displaystyle (2,3,7),(n,n,n),(2,3,8),(2,3,9),(3,3,4),(3,3,5),(2,n,n),(3,n,n),(2n,2n,5),(2,4,n)}$.

По теореме Фальтингса для любых фиксированных натуральных ${\displaystyle m,n,k}$, удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1}$, существует не более чем конечное число троек ${\displaystyle a,b,c}$, удовлетворяющих уравнению ${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}}$, но гипотеза Ферма — Каталана строже, поскольку утверждает конечность числа решений для бесконечного множества троек ${\displaystyle m,n,k}$.

abc-гипотеза влечет гипотезу Ферма — Каталана^[1].

Гипотеза Била состоит в том, что все решения уравнения Ферма — Каталана имеют один из показателей равный 2.

• Weisstein, Eric W. Fermat-Catalan Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• Иэн Стюарт. «Величайшие математические задачи». — М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.