Группа Тейта — Шафаревича

Группа Тейта — Шафаревича — математическое понятие, используемое в диофантовой, алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. Независимо введено в совместной работе С. Ленга, Дж. Тейта ("Principal homogeneous spaces over abelian varieties", American Journal of Mathematics, 1958) и И. Р. Шафаревича ("Группы главных однородных алгебраических многообразий", Доклады АН СССР, 1959).

Группа Тейта — Шафаревича Ш(A/K) — это абелево многообразие A над числовым полем K, состоящее из тех элементов группы Вейля — Шатле WC(A/K) = H¹(G_K, A), которые являются тривиальными во всех расширениях поля K (то есть p-адических расширениях K, а также его вещественных и комплексных расширений). В терминах когомологий Галуа, это можно представить в виде

${\displaystyle \bigcap _{v}\mathrm {ker} (H^{1}(G_{K},A)\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v})).}$

Обозначение Ш(A/K) введено Джоном Касселсом, кириллическая буква "Ш" используется в честь И. Р. Шафаревича.

• Cassels, John William Scott (1962), Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 12: 259–296, doi:10.1112/plms/s3-12.1.259, ISSN 0024-6115, MR 0163913
• Cassels, John William Scott (1962b), Arithmetic on curves of genus 1. IV. Proof of the Hauptvermutung, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 211 (211): 95–112, doi:10.1515/crll.1962.211.95, ISSN 0075-4102, MR 0163915 Архивная копия от 17 мая 2018 на Wayback Machine
• Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, London Mathematical Society Student Texts, vol. 24, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, MR 1144763 Архивная копия от 24 июня 2021 на Wayback Machine
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 201, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5
• Greenberg, Ralph (1994), Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives, in Serre, Jean-Pierre; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L. (eds.), Motives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1637-0
• Lang, Serge; Tate, John (1958), Principal homogeneous spaces over abelian varieties, American Journal of Mathematics, 80 (3): 659–684, doi:10.2307/2372778, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372778, MR 0106226
• Lind, Carl-Erik (1940). Untersuchungen über die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins (Thesis). Vol. 1940. University of Uppsala. 97 pp. MR 0022563. Архивировано 24 июня 2021. Дата обращения: 12 июля 2019. {{cite thesis}}: Неизвестный параметр |nopp= игнорируется (|no-pp= предлагается) (справка)
• Poonen, Bjorn; Stoll, Michael (1999), The Cassels-Tate pairing on polarized abelian varieties, Annals of Mathematics, Second Series, 150 (3): 1109–1149, arXiv:math/9911267, doi:10.2307/121064, ISSN 0003-486X, JSTOR 121064, MR 1740984
• Rubin, Karl (1987), Tate-Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with complex multiplication, Inventiones Mathematicae, 89 (3): 527–559, Bibcode:1987InMat..89..527R, doi:10.1007/BF01388984, ISSN 0020-9910, MR 0903383
• Selmer, Ernst S. (1951), The Diophantine equation ax³+by³+cz³=0, Acta Mathematica, 85: 203–362, doi:10.1007/BF02395746, ISSN 0001-5962, MR 0041871
• Шафаревич, И. Р. (1959), Группы главных однородных алгебраических многообразий, Докл. АН СССР, 124: 42–43, ISSN 0002-3264, MR 0106227
• Stein, William A. (2004), Shafarevich-Tate groups of nonsquare order (PDF), Modular curves and abelian varieties, Progr. Math., vol. 224, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, pp. 277–289, MR 2058655 Архивная копия от 10 августа 2017 на Wayback Machine
• Swinnerton-Dyer, P. (1967), The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer, and of Tate, in Springer, Tonny A. (ed.), Proceedings of a Conference on Local Fields (Driebergen, 1966), Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 132–157, MR 0230727
• Tate, John (1958), WC-groups over p-adic fields, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, vol. 13, Paris: Secrétariat Mathématique, MR 0105420 Архивная копия от 27 июня 2020 на Wayback Machine
• Tate, John (1963), Duality theorems in Galois cohomology over number fields, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, pp. 288–295, MR 0175892, Архивировано из оригинала 17 июля 2011 Архивная копия от 17 июля 2011 на Wayback Machine
• Weil, André (1955), On algebraic groups and homogeneous spaces, American Journal of Mathematics, 77 (3): 493–512, doi:10.2307/2372637, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372637, MR 0074084
• Колывагин, В. А. (1988), Конечность E(Q) и Ш(E,Q) для подкласса кривых Вейля, Изв. АН СССР. Сер. матем., 52 (3): 522–540, 670–671, ISSN 0373-2436, 954295