Инвариант Хопфа

Инвариант Хопфа — гомотопический инвариант отображений между сферами определённых размерностей. Предложен Хайнцем Хопфом в 1931 году.^[1]

Пусть ${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$ — непрерывное отображение (предположим ${\displaystyle n>1}$). Рассмотрим CW-комплекс

${\displaystyle C_{\varphi }=S^{n}\cup _{\varphi }D^{2n},}$

где ${\displaystyle D^{2n}}$ есть ${\displaystyle 2n}$-мерный диск, приклеенный к ${\displaystyle S^{n}}$ по отображению ${\displaystyle \varphi }$. Группы клеточных цепей ${\displaystyle C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\varphi })}$ равны ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в размерностях 0, ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle 2n}$, а иначе нули.

Обозначим образующие групп когомологий через

${\displaystyle H^{n}(C_{\varphi })=\langle \alpha \rangle }$ и ${\displaystyle H^{2n}(C_{\varphi })=\langle \beta \rangle .}$

По размерным соображениям все произведения между этими классами должны быть тривиальными, кроме возможно ${\displaystyle \alpha \smile \alpha }$. Таким образом, кольцо когомологий ${\displaystyle C_{\varphi }}$ задаётся следующим образом

${\displaystyle H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\varphi )\cdot \beta \rangle .}$

Целое число ${\displaystyle h(\varphi )}$ и является инвариантом Хопфа отображения ${\displaystyle \varphi }$.

• Отображение ${\displaystyle h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z} }$ является гомоморфизмом.
  • Более того, если ${\displaystyle n}$ чётно, то образ ${\displaystyle h}$ содержит ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$.

• Инвариант расслоений Хопфа равен ${\displaystyle 1}$, где ${\displaystyle n=1,2,4,8}$, соответственно, соответствует вещественным алгебрам с делением ${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} }$ и расслоению ${\displaystyle S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}}$, направляющему направление на сферу в подпространство, которое она охватывает.
  • Более того, с точностью до гомотопической эквивалентности это единственные отображения с единичным инвариантом Хопфа. Эта теорема была доказана сначала Фрэнком Адамсом, а затем Адамсом и Майклом Атией методами топологической K-теории.

• Инвариант Хопфа гладкого отображения ${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$, равен индексу зацепления в ${\displaystyle \colon S^{2n-1}}$ прообразов двух регулярных значений в ${\displaystyle \varphi }$ в ${\displaystyle \varphi S^{n}}$.

• Пусть ${\displaystyle \omega }$ — такая ${\displaystyle n}$-форма на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$, что ${\displaystyle \int _{\mathbb {S} ^{n}}\omega =1}$. Tогда её понятие ${\displaystyle \varphi ^{*}\omega }$ точное, то есть ${\displaystyle \phi ^{*}\omega =d\eta }$ для некоторой ${\displaystyle (n-1)}$-формы ${\displaystyle \eta }$ на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$ и следующий интеграл равен инварианту Хопфа отображения ${\displaystyle \varphi }$^{[2]:prop. 17.22}

  ${\displaystyle \ \ \int \limits _{\mathbb {S} ^{2n-1}}\eta \wedge d\eta .}$

• Adams, J. Frank (1960), On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Annals of Mathematics, 72 (1): 20–104, doi:10.2307/1970147
• Adams, J. Frank (1966), K-Theory and the Hopf Invariant, Quarterly Journal of Mathematics, 17 (1): 31–38, doi:10.1093/qmath/17.1.31
• Crabb, Michael. The geometric Hopf invariant  (неопр.).
• Shokurov, A.V. (2001), Hopf invariant, in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics (англ.), Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Математическая энциклопедия ХОПФА ИНВАРИАНТ