Кинк (математика)

Кинк — это решение уравнений движения поля в некоторых теоретико-полевых моделях в ${\displaystyle 1+1}$ измерениях (т.е. в двумерном пространстве-времени), интерполирующее между двумя вакуумами (значениями поля или полей, соответствующими минимумам потенциала) ^[1]при изменении пространственной координаты от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$. Кинк является простейшим топологическим солитоном.

Рассмотрим^[2] теорию одного действительного скалярного поля ${\displaystyle \phi (x,t)}$ в пространстве размерности ${\displaystyle 1+1}$ с действием

${\displaystyle S=\int d^{2}x\left[{\frac {1}{2}}\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }-V(\phi )\right],}$

где ${\displaystyle \mu =0,1}$, а ${\displaystyle V(\phi )}$ — потенциал вида:

${\displaystyle V(\phi )=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {\lambda }{4}}\phi ^{4}+{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}={\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{2}-v^{2})^{2},~~v={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}.}$

Это так называемая модель ${\displaystyle \phi ^{4}}$ (раньше в литературе часто встречалось также название "модель ${\displaystyle \lambda \phi ^{4}}$"). Действие инвариантно относительно дискретного преобразования ${\displaystyle \phi \to -\phi }$; эта симметрия спонтанно нарушается, т.к. классические вакуумы равны ${\displaystyle \phi ^{(vac)}=\pm v}$.

Из принципа наименьшего действия получается уравнение движения для поля ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle \Box \phi +{\frac {dV(\phi )}{d\phi }}=0,}$

где ${\displaystyle \Box ={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$ -- оператор Даламбера.

Будем искать статическое, т.e. не зависящее от времени решение уравнения движения. В этом случае ${\displaystyle \phi =\phi (x)}$ и уравнение движения принимает вид

${\displaystyle \phi ''-{\frac {dV(\phi )}{d\phi }}=0,}$

где штрих обозначает производную по пространственной координате. Полученное уравнение имеет следующее решение:

${\displaystyle \phi =\pm v\tanh({\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}v(x-x_{0}))=\pm {\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {({\frac {\mu }{\sqrt {2}}}(x-x_{0}))},}$

где ${\displaystyle x_{0}}$ — постоянная интегрирования, отвечающая за расположение кинка на координатной оси. Данное решение (со знаком "${\displaystyle +}$") является статическим кинком модели ${\displaystyle \lambda \phi ^{4}}$ соединяющим вакуумы ${\displaystyle -v}$ и ${\displaystyle +v}$ при изменении пространственной координаты от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$. Заметим, что решение со знаком "${\displaystyle -}$" называется антикинком.

Рассмотрим^[2] теорию одного комплексного скалярного поля в пространстве размерности ${\displaystyle 1+1}$ с лагранжианом

${\displaystyle {\cal {{L}=\phi _{,\mu }{\bar {\phi }}^{,\mu }+\mu ^{2}\phi {\bar {\phi }}-{\frac {\lambda }{2}}(\phi {\bar {\phi }})^{2}.}}}$

Принцип наименьшего действия приводит к следующим уравнениям поля:

${\displaystyle \phi _{,\mu }^{~~\mu }=\mu ^{2}\phi -\lambda \phi ^{2}{\bar {\phi }},}$

${\displaystyle {\bar {\phi }}_{,\mu }^{,\mu }=\mu ^{2}{\bar {\phi }}-\lambda {\bar {\phi }}^{2}\phi .}$

Полученные уравнения имеют решением кинк из теории действительного скалярного поля

${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}x)}.}$

Рассмотрим^[2] теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности ${\displaystyle 1+1}$ с лагранжианом

${\displaystyle {\cal {{L}=\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }+m^{2}v^{2}[\cos {\frac {\phi }{v}}-1].}}}$

Принцип наименьшего действия приводит к уравнению

${\displaystyle \phi _{,\mu }^{~~\mu }+m^{2}v\sin {\frac {\phi }{v}}=0,}$

которое заменой ${\displaystyle x\rightarrow mx,~~t\rightarrow mt,~~\phi \rightarrow {\frac {\phi }{v}}}$ приводится к уравнению синус-Гордона

${\displaystyle \phi _{tt}-\phi _{xx}+\sin \phi =0,}$

имеющему следующие частные решения^[3], представляющие движущиеся со скоростью ${\displaystyle v}$ кинки, интерполирующие между вакуумами ${\displaystyle \phi _{0}=2\pi k,~~k\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle \phi _{0}+2\pi }$ при изменении ${\displaystyle x}$ от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$:

${\displaystyle \phi (x,t)=\phi _{0}+4\arctan \left\{\exp \left[\pm {\frac {x+vt}{\sqrt {v^{2}-1}}}+\delta \right]\right\},}$

где ${\displaystyle \delta }$ — произвольная постоянная. Знак ${\displaystyle +}$ соответствует кинку, знак ${\displaystyle -}$ — антикинку.

• Т. И. Белова, А. Е. Кудрявцев, Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля, УФН 167, 377—406 (1997) Архивная копия от 20 декабря 2016 на Wayback Machine.
• V.A. Gani, A.E. Kudryavtsev, M.A. Lizunova, Kink interactions in the (1+1)-dimensional φ⁶ model, Phys. Rev. D 89, 125009 (2014); .
• V.A. Gani, V. Lensky, M.A. Lizunova, Kink excitation spectra in the (1+1)-dimensional φ⁸ model, JHEP 08 (2015) 147; .