Кодирование Чёрча

Кодирование Чёрча ― способ представления при помощи лямбда-выражений данных, не являющихся функциями и переменными, например, натуральных чисел и других констант. Метод назван в честь Алонзо Чёрча, разработавшего лямбда-исчисление.

Поскольку в чистом (бестиповом) лямбда-исчислении, в отличие от многих формальных систем (где выделены в качестве термов, например, целые числа, булевы значения, пары), единственным примитивным типом являются функции, все остальные виды данных необходимо конструировать с использованием лямбда-выражений. Кодирование подразумевает соглашение о том, как определять те или иные примитивы; например, числа Чёрча — способ кодирования натуральных чисел, булеаны Чёрча — соглашение о кодировании логических значений, пары Чёрча — кодирование упорядоченных пар элементов, есть несколько способов закодировать списки.

Кодирование Чёрча, как правило, не используется для реализации примитивных типов данных в практических языках программирования из-за неэффективности, но при этом демонстрирует, что любые вычисления могут быть сведены исключительно к функциям и переменным в бестиповом лямбда-исчислении, а другие примитивные типы данных не обязательны.

Числа Чёрча

Число Чёрча, соответствующее натуральному числу $n$ , определяется как функция от двух параметров $f$ и $x$ , применяющая $f$ к $x$ $n$ раз — другими словами, число Чёрча отображает функцию $f$ в её $n$ -кратную композицию:

f^{\circ n}=\underbrace {f\circ f\circ \cdots \circ f} _{n{\text{ раз}}}

.

$0\ f\ x$ значит «не применять функцию $f$ к $x$ вообще», $1\ f\ x$ значит «применять функцию 1 раз» и так далее:

Число	Определение нумерала	Лямбда-выражение
$0$	$0\ f\ x=x$	$0=\lambda f.\lambda x.x$
$1$	$1\ f\ x=f\ x$	$1=\lambda f.\lambda x.f\ x$
$2$	$2\ f\ x=f\ (f\ x)$	$2=\lambda f.\lambda x.f\ (f\ x)$
$3$	$3\ f\ x=f\ (f\ (f\ x))$	$3=\lambda f.\lambda x.f\ (f\ (f\ x))$
⋮	⋮	⋮
$n$	$n\ f\ x=f^{n}\ x$	$n=\lambda f.\lambda x.f^{\circ n}\ x$

Вычисления над числами Чёрча

Арифметические операции над числами можно выразить в лямбда-исчислении как функции над числами Чёрча.

Операция сложения, благодаря тождеству $f^{\circ (m+n)}(x)=f^{\circ m}(f^{\circ n}(x))$ , может быть определена как:

(+)\equiv \lambda m.\lambda n.\lambda f.\lambda x.m\ f\ (n\ f\ x)

.

Добавление единицы $\operatorname {succ} \equiv (+1)$ посредством $\beta$ -редукции выводится из сложения:

\operatorname {succ} \equiv \lambda n.\lambda f.\lambda x.f\ (n\ f\ x)

.

Умножение вводится следующим образом:

(\cdot )\equiv \lambda m.\lambda n.\lambda f.\lambda x.m\ (n\ f)\ x

.

Операция возведения в степень $b^{n}$ благодаря определению чисел Чёрча формулируется лаконично:

\operatorname {exp} \equiv \lambda b.\lambda n.n\ b

.

Более сложное выражение требуется для вычитания единицы $\operatorname {pred}$ :

\operatorname {pred} \equiv \lambda n.\lambda f.\lambda x.n\ (\lambda g.\lambda h.h\ (g\ f))\ (\lambda u.x)\ (\lambda u.u)

.

Разность двух чисел строится из вычитания единицы:

(-)\equiv \lambda m.\lambda n.(n\operatorname {pred} )\ m

.

Булеаны Чёрча

Булеаны Чёрча — представления булевых значений, то есть «истины» ( $\top$ ) и «лжи» ( $\bot$ ) как выбора первого и второго аргумента соответственно:

\top \equiv \lambda a.\lambda b.a

,

\bot \equiv \lambda a.\lambda b.b

.

Некоторые языки программирования, такие как Smalltalk и Pico, используют их в качестве модели реализации для булевой арифметики.

Такое определение позволяет использовать предикаты (функции, возвращающие логические значения) как условия в условных выражениях. Над $\top$ и $\bot$ могут быть реализованы стандартные логические операторы (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, исключающее «или»:

(\wedge )\equiv \lambda p.\lambda q.p\ q\ p

,

(\vee )\equiv \lambda p.\lambda q.p\ p\ q

,

\lnot \equiv \lambda p.p\bot \top =\lambda p.p\ (\lambda a.\lambda b.b)\ (\lambda a.\lambda b.a)=\lambda p.\lambda a.\lambda b.p\ b\ a

,

(\oplus )\equiv \lambda a.\lambda b.a\ (\lnot \ b)\ b

.

Реализация тернарной условной операции:

\operatorname {if} \equiv \lambda p.\lambda a.\lambda b.p\ a\ b

.

Предикаты — функции, возвращающие логическое значение — реализуются естественным образом, например, предикат $(=0)$ , возвращающий $\top$ , если его аргумент является числом Чёрча $0$ , и $\bot$ в ином случае, вводится таким образом:

(=0)\equiv \lambda n.n\ (\lambda x.\bot )\ \top

,

предикат $(\leqslant )$ над числами Чёрча, который проверяет, меньше или равен его первый аргумент второму:

(\leqslant )=\lambda m.\lambda n.(=0)((-)m\ n)

.

Из тождества $x=y\equiv (x\leqslant y\land y\leqslant x)$ получается предикат проверки на равенство $(=)$ :

(=)\equiv \lambda m.\lambda n.(\wedge )((\leqslant )\ m\ n)\ ((\leqslant )\ n\ m)

Пары Чёрча

Пары Чёрча — соглашение о кодировании упорядоченных пар, то есть наборов из двух элементов: пара представляется как функция, которая применяет свой единственный аргумент $f$ к обоим элементам пары $x$ и $y$ , получая в результате $f\ x\ y$ . Функция образующая пару из аргументов: $\operatorname {pair} \equiv \lambda x.\lambda y.\lambda z.z\ x\ y$ . Функции $\operatorname {first}$ и $\operatorname {second}$ , возвращающие соответственно первый и второй элемент пары:

\operatorname {first} \equiv \lambda p.p\ (\lambda x.\lambda y.x)

,

\operatorname {second} \equiv \lambda p.p\ (\lambda x.\lambda y.y)

.

Списки

Неизменяемый список из упорядоченных элементов может быть закодирован одним из следующих способов: через создание каждого элемента списка из двух пар, через создание каждого элемента списка из одной пары, через функцию свёртки справа, с использованием кодирования Скотта.

Представление в виде двух пар

При представлении в виде двух пар первый элемент содержит первый элемент списка, а второй — все остальные элементы, «хвост» списка. Поскольку таким способом не может быть выражен пустой список, то используется дополнительная обёртка — первый элемент указывает, является ли список пустым, а второй элемент содержит пару из первого элемента списка и хвоста списка.

Базовые операции со списками в этой схеме кодирования можно выразить следующим образом^[1]:

\operatorname {nil} \equiv \operatorname {pair} \ \top \top

— пустой список;

\operatorname {isnil} \equiv \operatorname {first}

— возвращает первый элемент пары, который и означает, является ли список пустым;

\operatorname {cons} \equiv \lambda h.\lambda t.\operatorname {pair} \bot \,(\operatorname {pair} h\ t)

— конструирует новый непустой список из первого элемента (головы списка)

h

и хвоста

t

;

\operatorname {head} \equiv \lambda z.\operatorname {first} \ (\operatorname {second} z)

— первый элемент пары во втором элементе — голова списка;

\operatorname {tail} \equiv \lambda z.\operatorname {second} \ (\operatorname {second} z)

— второй элемент пары во втором элементе — хвост списка.

Из этих функций можно вывести остальные необходимые операции для списков, например, определение длины:

\operatorname {length} =\lambda l.\operatorname {if} \ (\operatorname {isnil} l)\ 0\ ((+1)\operatorname {length} \operatorname {tail} l)

.

В пустом списке доступ ко второму элементу никогда не применяется, поскольку к нему не применимы понятия головы и хвоста списка.

Представление в виде одной пары

В качестве альтернативы списки можно определить следующим образом ( $\bot$ здесь соответствует пустому списку, непустые задаются парой головы и хвоста)^[2]:

\operatorname {cons} \equiv \operatorname {pair}

,

\operatorname {head} \equiv \operatorname {first}

,

\operatorname {tail} \equiv \operatorname {second}

,

\operatorname {nil} \equiv \bot

,

\operatorname {isnil} \equiv \lambda l.l\,(\lambda h.\lambda t.\lambda d.\operatorname {\bot } )\,\top

.

Представление списка через функцию свёртки справа

В качестве альтернативы кодированию с использованием пар Чёрча список можно закодировать, отождествив его с функцией свёртки справа. Например, список из трёх элементов $x$ , $y$ и $z$ может быть закодирован функцией высшего порядка, которая при применении к комбинатору $c$ и значению $n$ возвращает $c\ x\ (c\ y\ (c\ z\ n))$ :

\operatorname {nil} \equiv \lambda c.\lambda n.n

,

\operatorname {isnil} \equiv \lambda l.l\ (\lambda h.\lambda t.\operatorname {\bot } )\top

,

\operatorname {cons} \equiv \lambda h.\lambda t.\lambda c.\lambda n.c\ h\ (t\ c\ n)

,

\operatorname {head} \equiv \lambda l.l\ (\lambda h.\lambda t.h)\ \operatorname {\bot }

,

\operatorname {tail} \equiv \lambda l.\lambda c.\lambda n.l\ (\lambda h.\lambda t.\lambda g.g\ h\ (t\ c))\ (\lambda t.n)\ (\lambda h.\lambda t.t)

.

Представление списка с использованием кодирования Скотта

Ещё одним альтернативным представлением является представление списков через кодирование Могенсена — Скотта, которое использует идеи продолжения и сопоставления с образцом, и может привести к упрощению программного кода^[3] .

Примечания

↑ Pierce, Benjamin C.. Types and Programming Languages. — MIT Press, 2002. — С. 500. — ISBN 978-0-262-16209-8.
↑ Tromp, John. 14. Binary Lambda Calculus and Combinatory Logic // Randomness And Complexity, From Leibniz To Chaitin (англ.) / Calude, Cristian S.. — World Scientific, 2007. — P. 237—262. — ISBN 978-981-4474-39-9.
As PDF: Tromp, John. Binary Lambda Calculus and Combinatory Logic (неопр.) (PDF) (14 мая 2014). Дата обращения: 24 ноября 2017. Архивировано 1 июня 2018 года.
↑ Jansen, Jan Martin. Programming in the λ-Calculus: From Church to Scott and Back (англ.) // LNCS : journal. — 2013. — Vol. 8106. — P. 168—180. — doi:10.1007/978-3-642-40355-2_12.

Литература

Directly Reﬂective Meta-Programming
Church numerals and booleans explained. Robert Cartwright Rice University
Theoretical Foundations For Practical 'Totally Functional Programming' (главы 2.4 и 5)
Some interactive examples of Church numerals
Lambda Calculus Live Tutorial: Boolean Algebra

[1] Pierce, Benjamin C.. Types and Programming Languages. — MIT Press, 2002. — С. 500. — ISBN 978-0-262-16209-8.

[2] Tromp, John. 14. Binary Lambda Calculus and Combinatory Logic // Randomness And Complexity, From Leibniz To Chaitin (англ.) / Calude, Cristian S.. — World Scientific, 2007. — P. 237—262. — ISBN 978-981-4474-39-9.
As PDF: Tromp, John. Binary Lambda Calculus and Combinatory Logic (неопр.) (PDF) (14 мая 2014). Дата обращения: 24 ноября 2017. Архивировано 1 июня 2018 года.

[3] Jansen, Jan Martin. Programming in the λ-Calculus: From Church to Scott and Back (англ.) // LNCS : journal. — 2013. — Vol. 8106. — P. 168—180. — doi:10.1007/978-3-642-40355-2_12.

[1]

[2]

[3]