Критерий Граббса

Критерий Граббса — статистический тест, используемый для определения выбросов в одномерном наборе данных, подчиняющихся нормальному закону распределения. Был предложен в 1950 году Франком Граббсом^[1].

Критерий Граббса основан на предположении о нормальном распределении. Таким образом, перед расчётом критерия Граббса необходимо проверить данные на нормальное распределение^[2]. Однако в ГОСТ Р 8.736-2011 "Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения" при статистической обработке группы результатов прямых многократных независимых измерений проверяют наличие грубых погрешностей с использованием критерия Граббса (и при необходимости исключают их) и лишь затем проверяют гипотезу о принадлежности результатов измерений нормальному распределению.

Критерий Граббса определяет один выброс за одну итерацию. Этот выброс исключается из набора данных и тест повторяется до тех пор, пока не будут обнаружены все выбросы. Тем не менее, множественные итерации изменяют вероятность определения и критерий не следует применять при 3 или менее значениях, так как в такой ситуации часто большинство точек оказываются идентифицированы как выбросы.

Критерий Граббса определён для гипотез:

H₀: В наборе данных нет выбросов

H_a: В наборе данных присутствует как минимум один выброс

Критерий Граббса рассчитывается как:

${\displaystyle G={\frac {\displaystyle \max _{i=1,\ldots ,N}\left\vert Y_{i}-{\bar {Y}}\right\vert }{s}}}$

где ${\displaystyle {\overline {Y}}}$ и ${\displaystyle s}$ означают выборочное среднее и среднеквадратичное отклонение соответственно. Значение критерия Граббса показывает максимальное абсолютное отклонение от выборочного среднего в единицах среднеквадратичного отклонения.

Этот способ расчёта относится к двусторонней версии теста. Критерий Граббса также может быть определён как односторонний тест. Для определения того, является ли минимальное значение выбросом, рассчитывается критерий:

${\displaystyle G={\frac {{\bar {Y}}-Y_{\min }}{s}}}$

где Y_min означает минимальное значение. Для определения того, является ли максимальное значение выбросом, рассчитывается критерий:

${\displaystyle G={\frac {Y_{\max }-{\bar {Y}}}{s}}}$

где Y_max означает максимальное значение.

Для двустороннего теста гипотеза об отсутствии выбросов отклоняется с уровнем значимости α, если:

${\displaystyle G>{\frac {N-1}{\sqrt {N}}}{\sqrt {\frac {t_{\alpha /(2N),N-2}^{2}}{N-2+t_{\alpha /(2N),N-2}^{2}}}}}$

где t_{α/(2N),N−2} означает максимальное критическое значение распределения Стьюдента с N − 2 степенями свободы и уровнем значимости α/(2N). Для одностороннего критерия α/(2N) следует заменить на α/N.

Некоторые статистические графики могут и должны использоваться для определения выбросов. Простой график выполняемой последовательности, диаграмма размаха или гистограмма отображают очевидные выбросы. График нормального распределения также может быть полезен.

• Критерий Шовене
• Критерий Пирса
• Критерий Диксона

• Grubbs, Frank. Procedures for Detecting Outlying Observations in Samples (англ.) // Technometrics : journal. — Technometrics, Vol. 11, No. 1, 1969. — February (vol. 11, no. 1). — P. 1—21. — doi:10.2307/1266761. — . (англ.)
• Stefansky, W. Rejecting Outliers in Factorial Designs (англ.) // Technometrics : journal. — Technometrics, Vol. 14, No. 2, 1972. — Vol. 14, no. 2. — P. 469—479. — doi:10.2307/1267436. — . (англ.)