Малая теорема Фубини

Малая теорема Фубини (теорема Фубини о дифференцировании) — утверждение, позволяющее почленно дифференцировать ряд монотонных функций: всюду сходящийся ряд монотонных (неубывающих) функций:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }F_{n}(x)=F(x)}$

почти всюду допускает почленное дифференцирование:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }F_{n}'(x)=F'(x)}$.

Установлена Гвидо Фубини. Доказательство следует из леммы Фату.

Результат допускает ряд обобщений. В частности, он распространяется на произвольные неотрицательные счётно-аддитивные функции (этот результат также фигурирует как малая теорема Фубини)^[1]. Если же от ряда потребовать равномерной сходимости, то для выполнения почленной дифференцируемости почти всюду на функции никаких дополнительных условий не накладывается^[2].

• Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная. — Наука, 1967. — 220 с.
• Rudin W. Principles of Mathematical Analysis. — McGraw-Hill, 1976.