Матрицы Паули

• Эрмитовость: ${\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}}$.
• Равенство нулю следа: ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0,\ i=1,2,3}$.
• ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}^{2}=I,}$ где ${\displaystyle I=\sigma _{0}}$ — единичная матрица размерности 2×2.
• Унитарность: ${\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}^{-1}=\sigma _{i}}$.
• Определитель матриц Паули равен −1.
• Алгебра, порождённая элементами ${\displaystyle \sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z}}$, изоморфна алгебре кватернионов ${\displaystyle \langle 1,i,j,k\rangle }$.

Правила умножения матриц Паули:

${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},}$

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},}$

${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},}$

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}}$ для ${\displaystyle i\neq j.}$

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\sigma _{0},\quad i,j,k=1,2,3}$,

где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера, а ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

${\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\sigma _{0}.\end{matrix}}}$

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Также для матриц Паули выполняются тождества Фирца.

Выражения для следов произведения матриц Паули

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{i}\sigma _{j})=2\delta _{ij},}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{k})=2i\varepsilon _{ijk}.}$

Из выражения для умножения матриц Паули следуют также следующие соотношения:

• ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{0},}$
• ${\displaystyle ({\vec {\sigma }},{\vec {a}})^{2}=\left|{\vec {a}}\right|^{2}\sigma _{0}}$, где ${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ — вектор из матриц Паули, ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ — произвольный вектор,

а также формулы для матричных экспонент и их следов:

• ${\displaystyle e^{i({\vec {a}},{\vec {\sigma }})}=\sigma _{0}\cos {\left|{\vec {a}}\right|}+{\frac {i({\vec {a}},{\vec {\sigma }})}{\left|{\vec {a}}\right|}}\sin {\left|{\vec {a}}\right|},}$
• ${\displaystyle e^{({\vec {a}},{\vec {\sigma }})}=\sigma _{0}\operatorname {ch} \left|{\vec {a}}\right|+{\frac {({\vec {a}},{\vec {\sigma }})}{\left|{\vec {a}}\right|}}\operatorname {sh} \left|{\vec {a}}\right|,}$
• ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(e^{i({\vec {a}},{\vec {\sigma }})}\right)=2\cos {\left|{\vec {a}}\right|},}$
• ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(e^{({\vec {a}},{\vec {\sigma }})}\right)=2\operatorname {ch} \left|{\vec {a}}\right|.}$

Коммутационные соотношения матриц ${\displaystyle i\sigma _{k}}$ совпадают с коммутационными соотношениями генераторов универсальной обёртывающей алгебры алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта обёртывающая алгебра может быть построена из произвольных линейных комбинаций конечных произведений матриц ${\displaystyle i\sigma _{k}\;.}$ [Слово "генераторы" ведёт своё происхождение из терминологии математики 19-го века: тогда любили говорить о "генераторах и отношениях" алгебраической структуры, так как, не имея теории множеств, математики определяли такие структуры часто "изнутри", а не "снаружи". В случае матриц Паули идеал, по которому факторизуется тензорная алгебра алгебры Ли (соответствующая фактор-алгебра и есть универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли), определяется "отношениями", которыми собственно и служат коммутационные соотношения матриц. Универсальные обёртывающие алгебры особенно полезны для нематричных алгебр Ли, так как скобка Ли, являющаяся примитивным понятием алгебры Ли (а произведений в алгебре Ли в общем случае нет), вкладывается в ассоциативную обёртывающую алгебру, имеющую произведения, в виде коммутатора.] Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства, будучи её универсальной накрывающей группой; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.