Метод Ритца

Метод Ритца — прямой метод нахождения приблизительного решения краевых задач вариационного исчисления. Метод назван в честь Вальтера Ритца, который предложил его в 1909 году^[1].

Метод предусматривает выбор пробной функции, которая должна минимизировать определённый функционал, в виде суперпозиций известных функций, которые удовлетворяют граничным условиям. При этом задача сводится к поиску неизвестных коэффициентов суперпозиции. Пространственный оператор в операторном уравнении, который описывает краевую задачу, должен быть линейным, симметрическим и положительно-определённым.

Метод Ритца применяется для решения задач вариационного исчисления прямым методом. С помощью прямых методов решаются исходные задачи по нахождению функции в заданном классе, которые доставляют экстремальное значение заданному функционалу.

Основные положения метода Ритца:

• Задача по нахождению функции ${\displaystyle u}$ должна быть сформулирована в вариационной форме.
• Решение должно быть представлено в виде конечного линейного ряда вида $${\displaystyle u(x)=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\phi _{i}+\phi _{0}(x),}$$ где ${\displaystyle c_{i}}$ — коэффициенты Ритца, ${\displaystyle \phi _{0},\phi _{i}}$ — аппроксимационные функции.
• Коэффициенты ${\displaystyle c_{i}}$ находятся из условий минимизации функционала.

Метод Ритца часто причисляют к проекционным, наряду с методами Галёркина.