Метод фиктивных областей

Метод фиктивных областей — метод приближённого решения задач математической физики в геометрически сложных областях, основанный на переходе к задаче в геометрически более простой области (как правило, многомерный параллелепипед), целиком содержащей исходную.^[1] Преимуществом этого метода является удобство составления универсальных программ для численного решения широкого класса краевых задач математической физики, которые перестают зависеть от конкретного вида рассматриваемой области.^[2] Недостатком этого метода является низкая точность приближенного решения^[3] и сложность создания разностных схем и численного решения задач.^[2]

Пример

Рассмотрим задачу нахождения неизвестной функции $u(x)$ исходя из дифференциального уравнения:

{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)

с краевыми условиями:

u(0)=0,u(1)=0

Для решения задачи рассмотрим фиктивную область $0<x<2$ . Обозначим как $u_{\epsilon }(x)$ приближённое решение задачи в фиктивной области. Здесь $\epsilon$ - малый параметр.

Вариант решения с продолжением по старшим коэффициентам

В этом случае $u_{\epsilon }(x)$ является решением дифференциального уравнения:

{\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)

Ступенчатый коэффициент $k^{\epsilon }(x)$ вычисляется следующим образом:

k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}

Правую часть уравнения (2) представим в виде:

\phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}\quad (3)

Граничные условия для уравнения (2):

u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(2)=0

При $x=1$ необходимо задать условия "сшивки":

[u_{\epsilon }]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0

где обозначение $[\cdot ]$ означает "разрыв":

[p(x)]=p(x+0)-p(x-0)

Решение поставленной задачи имеет вид:

u_{\epsilon }(x)={\begin{cases}x(1+{\frac {c_{0}+1}{\epsilon ^{2}+1}}\epsilon ^{2}-x),&0<x<1\\(2-x)(c_{0}\epsilon ^{2}(x-1)+{\frac {c_{0}+1}{\epsilon ^{2}+1}}),&1<x<2\end{cases}}

Сравнивая его с точным решением уравнения (1) $u(x)=x(1-x)$ , получаем оценку ошибки:

u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1

Вариант решения с продолжением по младшим коэффициентам

В этом случае $u_{\epsilon }(x)$ является решением дифференциального уравнения:

{\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)

Здесь $\phi ^{\epsilon }(x)$ определено как в уравнении (3), коэффициент $c^{\epsilon }(x)$ вычисляются как:

c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}0,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2.\end{cases}}

Граничные условия для уравнения (4) такие же как и для уравнения (2).

Условия сопряжения в точке $x=1$ :

[u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0

Ошибка решения:

u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1

Примечания

↑ Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. - М., Наука, 1980. - c. 130-136
1 2 Вабищевич, 1991, с. 6.
↑ Вабищевич, 1991, с. 5.
↑ Вабищевич, 1991, с. 12-16.

Литература

Вабищевич П. Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. — М.: МГУ, 1991. — 156 с. — ISBN 5-211-01578-9.