Мультииндекс

Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha$ !}}\,x^{\alpha }}

Для гладких функций f и g

${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$

Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение

${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha$ !}}h^{\alpha }}.}

Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора

${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha$ !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}

где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим

${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha$ !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}

Формальный оператор взятия частной производной N-го порядка в n-мерном пространстве записывается следующим образом:

${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$

Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ имеем:

${\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$

Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных.

Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta$ !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)}

Положим ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$, ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$ и ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$. Тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}$

Здесь каждое дифференцирование ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ сводится к соответствующей обыкновенной производной ${\displaystyle d/dx_{i}}$, так как для каждого i из {1, . . ., n}, функция ${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}$ зависит только от ${\displaystyle x_{i}}$. Поэтому из уравнения (1) следует, что ${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}$ исчезает как только α_i > β_i для хотя бы одного i из {1, . . ., n}.В противном случае (когда α ≤ β) получаем

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}$

для каждого ${\displaystyle i}$.${\displaystyle \Box }$