Неассоциативная алгебра

Неассоциативная алгебра — алгебра над полем, в которой операция бинарного умножения не предполагается ассоциативной. Например, неассоциативны алгебры Ли (в общем случае), йордановы алгебры, алгебра октонионов и трёхмерное евклидово пространство, снабжённое операцией векторного произведения.

Неассоциативные алгебры могут обладать единицей, такова, например, алгебра октонионов, при этом в алгебрах Ли единица невозможна.

Структуру неассоциативной алгебры ${\displaystyle A}$ над полем ${\displaystyle K}$ можно изучить, связав её с другими ассоциативными алгебрами, которые являются подалгебрами полной алгебры ${\displaystyle K}$-эндоморфизмов ${\displaystyle A}$ как ${\displaystyle K}$-векторного пространства. Две из них — это алгебра дифференцирований и (ассоциативная) универсальная обёртывающая алгебра, причём последняя в некотором смысле является наименьшей ассоциативной алгеброй, содержащей ${\displaystyle A}$.

Основные результаты распространяются и на неассоциативные алгебры над коммутативным кольцом с единицей^[1]. Если структура подчиняется всем аксиомам кольца, кроме ассоциативности (например, любая R-алгебра), то она, естественно, является ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-алгеброй, поэтому некоторые авторы называют неассоциативную ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-алгебру неассоциативным кольцом.

Кольцевые структуры с двумя бинарными операциями и без других ограничений представляют собой широкий класс, слишком общий для изучения. По этой причине наиболее известные виды неассоциативных алгебр удовлетворяют тождествам или свойствам, которые накладывают ограничения на умножение.

• Schafer R. D. An Introduction to Nonassociative Algebras (англ.). — Dover, 1995. — ISBN 0-486-68813-5.