Нейтральный элемент

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Пусть ${\displaystyle (M,\cdot )}$ — множество ${\displaystyle M}$ с определённой на нём бинарной операцией «${\displaystyle \cdot }$». Элемент ${\displaystyle e\in M}$ называется нейтральным относительно ${\displaystyle \cdot }$ (умножения), если

${\displaystyle x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M}$.

В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, для которого

${\displaystyle e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M}$,

и правый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, для которого

${\displaystyle x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M}$.

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, и нейтральный справа элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, то они обязаны совпадать (так как ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }\cdot e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }}$).

• Поглощающий элемент (математика)
• Обратный элемент
• Моноид
• Группа

• Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. стр 77 "Нейтральные элементы"
• http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity  (рус.)
• http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html  (рус.)
• https://brilliant.org/wiki/identity-element/  (англ.)
• Weisstein, Eric W. "Identity Element." From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)