Неравенство Сильвестра

Нера́венство Сильве́стра — соотношение ранга произведения матриц с рангами исходных матриц. Неравенство дает нижнюю оценку для ранга произведения двух матриц. Неравенство формулируется как:

${\displaystyle \mathrm {rank} \,A+\mathrm {rank} \,B-n\leqslant \mathrm {rank} \,AB}$,

где ${\displaystyle n}$ — число столбцов матрицы ${\displaystyle A}$ и число строк матрицы ${\displaystyle B}$. Названо по имени английского математика XIX века Джеймса Сильвестра.

Результат непосредственно следует из неравенства Фробениуса (${\displaystyle E}$ — единичная матрица): ${\displaystyle \mathrm {rk} \,AE+\mathrm {rk} \,EB\leqslant \mathrm {rk} \,AEB+\mathrm {rk} \,E.=\mathrm {rk} \,AB+n}$^[1].

В сочетании с неравенством для оценки сверху ранга произведения ${\displaystyle \mathrm {rank} \ AB\leq \min {\{\mathrm {rank} \ A,\mathrm {rank} \ B\}}}$, неравенство Сильвестра позволяет ограничить ранг сверху и снизу двумя значениями.

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.