Неравенство Харди

Пусть ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots }$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел, не все из которых равны нулю. Тогда для любого вещественного числа ${\displaystyle p>1}$ имеет место неравенство:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.}$

Если ${\displaystyle f(x)}$ — неотрицательная интегрируемая функция, то^[6]:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leqslant \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.}$