Нерв покрытия

Нерв покрытия — конструкция в топологии, дающая симплициальный комплекс по произвольному покрытию.

Понятие нерва покрытия было введёно Павлом Сергеевичем Александровым ^[1].

Пусть ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — конечное покрытие топологического пространства ${\displaystyle X}$. Нерв покрытия ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — это абстрактный симплициальный комплекс ${\displaystyle N}$, множество вершин которого отождествлено с множеством индексов покрытия, при этом ${\displaystyle N}$ содержит симплекс с вершинами ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}W_{\alpha _{i}}\not =\varnothing }$.

• (теорема о нерве) Пусть ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — открытое покрытие паракомпактного пространства ${\displaystyle X}$. Предположим все непустые конечные пересечения элементов покрытия стягиваемы. Тогда нерв покрытия гомотопически эквивалентен ${\displaystyle X}$.^[2]
  • В частности, отсюда следует теорема Хелли.

• Граф пересечений — 1-мерный остов нерва.

• Когомологии Александрова — Чеха