Присоединённое представление алгебры Ли

Присоединённым представлением алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется линейное представление ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в модуле ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, действующее по формуле

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}y=[x,y],\ \ x,y\in {\mathfrak {g}},}$

где ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ― операция в алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

• Ядро ${\displaystyle \ker \operatorname {ad} }$ есть центр алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.
• Присоединённые операторы ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$ являются дифференцированиями алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и называются внутренними дифференцированиями.
• Образ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ называется присоединённой алгеброй и является идеалом в алгебре Ли ${\displaystyle \operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}}$ всех дифференцирований алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, причём ${\displaystyle \operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}/\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}}$ есть пространство ${\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})}$ 1-мерных когомологий алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, определяемых присоединённым представлением.
  • В частности, ${\displaystyle \operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}=\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}}$, если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ― полупростая алгебра Ли над полем характеристики 0.

• Джекобсон Н. Алгебры Ли, — М., 1964;
• Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, — 3 изд. — М., 1973;
• Серр Ж. — П. Алгебры Ли и группы Ли, пер. c англ. и франц., М., 1969;
• Хамфрис Дж. Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.

• Присоединённое представление группы Ли