Проблема якобиана

Проблема якобиана — проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.

Рассмотрим набор полиномов с комплексными коэффициентами от переменных ${\displaystyle {\overline {X}}=X_{1},X_{2},...,X_{N}}$:

${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]\qquad (1)}$

Предположим, что для любого набора ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}}$ система уравнений

${\displaystyle f_{1}=b_{1},f_{2}=b_{2},...,f_{N}=b_{N}}$

имеет единственное решение ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N}}$ и существуют такие многочлены

${\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]}$,

что каждое ${\displaystyle a_{i}=g_{i}(b_{1},b_{2},...,b_{N})}$. Предполагается, что многочлены ${\displaystyle g_{1},g_{2},...,g_{N}}$ не зависят от набора свободных членов ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}}$. Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из ${\displaystyle \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]}$ однозначно представляется в виде многочлена от ${\displaystyle f_{1},f_{2},...f_{N}}$ (и от ${\displaystyle g_{1},g_{2},...g_{N}}$). Система (1) задаёт полиномиальное отображение ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow \mathbb {C} ^{N}}$, при котором

${\displaystyle f(a_{1},...,a_{N})=(f_{1}(a_{1},...,a_{N}),f_{2}(a_{1},...,a_{N}),...,f_{N}(a_{1},...,a_{N}))=(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}\qquad (2)}$.

Отображение ${\displaystyle f}$ является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение ${\displaystyle f^{-1}}$, переводящее ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}}$ в

${\displaystyle f^{-1}(b_{1},...,b_{N})=(g_{1}(b_{1},...,b_{N}),g_{2}(b_{1},...,b_{N}),...,g_{N}(b_{1},...,b_{N}))=(a_{1},a_{2},...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N}}$

также является полиномиальным.

Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle J(f)({\overline {X}})}$ размера ${\displaystyle N}$, в которой на месте ${\displaystyle (i,j)}$ стоит частная производная ${\displaystyle \partial f_{i}/\partial X_{J}}$. Зададим другое полиномиальное отображение ${\displaystyle h:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow C^{N}}$ и рассмотрим их композицию ${\displaystyle fh}$, матрица Якоби которой равна

${\displaystyle J(fh)({\overline {X}})=J(f)(h({\overline {X}}))J(h)({\overline {X}})}$.

Вычисляя определители, получаем, что

${\displaystyle \det(J(fh))({\overline {X}})=\det(J(f))(h({\overline {X}}))\det(J(h))({\overline {X}})}$.

В частности, если заданы полиномиальные отображения ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle f^{-1}}$, то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица ${\displaystyle E=J(f^{-1}f)({\overline {X}})=J(f^{-1})(f({\overline {X}}))J(f)({\overline {X}})}$, тогда при переходе к определителю единица равна произведению многочленов, следовательно, эти многочлены равны константам, в частности,

${\displaystyle \det(J(f))({\overline {X}})}$

является ненулевой константой.

Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение ${\displaystyle f}$ вида (2), причем ${\displaystyle \det(J(f))}$ является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из ${\displaystyle C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]}$ в виде многочлена от ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}}$?

До 2022 года проблема была решена для случая, когда ${\displaystyle N=2}$ и степени ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ не выше 150, а также если ${\displaystyle N}$ любое, но степени всех многочленов ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{N}}$ не выше 2.^[1] Кроме того, для доказательства общего утверждения, достаточно было доказать его для случая, когда каждое ${\displaystyle f_{i}}$ является многочленом степени не выше 3^[1].

1. В. А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110—113;