Пространство Эйленберга — Маклейна

Пространство Эйленберга — Маклейна (или пространство типа ${\displaystyle K(G,n)}$) — топологическое пространство с единственной нетривиальной гомотопической группой ${\displaystyle G}$ в размерности ${\displaystyle n}$.

Для заданной группы ${\displaystyle G}$ и положительного целого числа ${\displaystyle n}$ линейно связное топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называется пространством Эйленберга — Маклейна типа ${\displaystyle K(G,n)}$, если оно имеет ${\displaystyle n}$-ю гомотопическую группу ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$, изоморфную ${\displaystyle G}$, а все остальные гомотопические группы ${\displaystyle X}$ тривиальны. Если ${\displaystyle n>1}$, то необходимо предположить, что ${\displaystyle G}$ коммутативна.

Названы в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна, которые рассматривали эти пространства в конце 1940-х годов.

При данных ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle n}$, пример ${\displaystyle K(G,n)}$-пространства может быть построен поэтапно, как CW-комплекс, начиная с букета из ${\displaystyle n}$-мерных сфер, по одной на каждую образующую группы ${\displaystyle G}$, и далее добавляя клетки (возможно, бесконечное число) более высоких измерений, чтобы убить все лишние гомотопические группы, начиная с размерности ${\displaystyle n+1}$.

• Окружность ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ является ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$ пространством.

• Бесконечномерное вещественное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty }}$ является ${\displaystyle K(\mathbb {Z} _{2},1)}$ пространством.

• Сумма букет ${\displaystyle k}$ окружностей ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}\mathbb {S} ^{1}}$ это ${\displaystyle K(G,1)}$ для ${\displaystyle G}$ — свободная группа с ${\displaystyle k}$ образующими.

• Дополнение к любому узлу в трёхмерной сфере ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ является ${\displaystyle K(G,1)}$-пространством; это следует из асферичности узлов — теоремы Христоса Папакириакопулоса доказанной им в 1957 году.

• Асферическое пространство — ${\displaystyle K(G,1)}$-пространство.

• Любое компактное связное неположительной секционной кривизны многообразие ${\displaystyle M}$ является ${\displaystyle K(\Gamma ,1)}$, где ${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(M)}$ является фундаментальной группой ${\displaystyle M}$. То же верно для локально-CAT(0)-пространств.

• Бесконечномерное комплексное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }}$ является ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$-пространством. Его кольцо когомологий ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ а именно свободное кольцо многочленов с одной образующей ${\displaystyle x}$ в размерности 2. Эта образующая может быть представлен в когомологиях де Рама 2-формой Фубини — Штуди.

• Пространство Эйленберга — Маклейна типа ${\displaystyle K(G,n)}$ единственненно с точностью до слабой гомотопической эквивалентности.

• Произведение ${\displaystyle K(G,n)}$- и ${\displaystyle K(H,n)}$-пространств является ${\displaystyle K(G\times H,n)}$-пространством.

• Для ${\displaystyle K(G,n)}$-пространства ${\displaystyle X}$ и произвольного CW-комплекса ${\displaystyle K}$ для множества гомотопических классов отображений ${\displaystyle K\to X}$ существует естественная биекция с группой когомологий ${\displaystyle H^{n}(K,G)}$. Это утверждение аналогично лемме Йонеды в теории категорий.

• Пространство петель пространства ${\displaystyle K(G,n)}$ пространства является ${\displaystyle K(G,n-1)}$-пространством.

• Гомологическая сфера

• Рудяк Ю. Б. Эйленберга — Маклейна пространство // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — Стб. 925. — 1248 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Eilenberg-MacLane space  (неопр.). Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
• Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топология. — М.: МГУ, 1969.
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1945), Relations between homology and homotopy groups of spaces, Annals of Mathematics, (Second Series), 46 (3): 480–509, doi:10.2307/1969165
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1950), Relations between homology and homotopy groups of spaces. II, Annals of Mathematics, (Second Series), 51 (3): 514–533, doi:10.2307/1969365
• Morita, Kiiti. Čech cohomology and covering dimension for topological spaces (англ.) // Fundamenta Mathematicae : journal. — 1975. — Vol. 87. — P. 31—52. — doi:10.4064/fm-87-1-31-52.
• Papakyriakopoulos, C. D. On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1957. — Vol. 43, no. 1. — P. 169—172. — doi:10.1073/pnas.43.1.169. — PMID 16589993.
• Papakyriakopoulos, C. D. On Dehn’s Lemma and the Asphericity of Knots (англ.) // Ann. Math. : journal. — 1957. — Vol. 66, no. 1. — P. 1—26. — doi:10.2307/1970113.