Синфазная и квадратурная составляющие сигнала

Синфазная и квадратурная составляющие (компоненты^[1]) — результат представления аналогового сигнала ${\displaystyle s(t)}$ в виде:

${\displaystyle s(t)=A_{1}(t)\cos(\omega _{0}t)-A_{2}(t)\sin(\omega _{0}t)}$,

где ${\displaystyle A_{1}(t)}$ называется синфазной составляющей (или I-составляющей, от англ. in-phase) сигнала ${\displaystyle s(t)}$, ${\displaystyle A_{2}(t)}$ называется квадратурной составляющей (или Q-составляющей, от англ. quadrature) сигнала ${\displaystyle s(t)}$^[2].

Частота ${\displaystyle \omega _{0}}$ называется несущей частотой сигнала. Для относительно узкополосных сигналов ширина спектра много меньше несущей частоты. Для таких сигналов, ${\displaystyle A_{1}(t)}$ и ${\displaystyle A_{2}(t)}$ меняются медленно по сравнению с самим сигналом^[3].

Это разложение лежит в основе фазовой манипуляции (ФМ) и квадратурной амплитудной модуляции (КАМ).

Известно, что линейная комбинация гармонических колебаний с одинаковой частотой есть гармоническое колебание с той же частотой. Верно и обратное: любой гармонический сигнал ${\displaystyle s(t)=A\cos(\omega _{0}t+\varphi )}$ можно разложить в сумму двух сигналов той же частоты, но смещённых по фазе. Удобней всего взять сдвиг по фазе на ${\displaystyle \pi /2}$. Это значит, что любое гармоническое колебание можно представить в виде суммы двух функций ${\displaystyle \cos(\omega _{0}t)}$ и ${\displaystyle \cos(\omega _{0}t-{\frac {\pi }{2}})=\sin(\omega _{0}t)}$:

${\displaystyle s(t)=A\cos(\omega _{0}t+\varphi )=A_{1}\cos(\omega _{0}t)-A_{2}\sin(\omega _{0}t).}$

Здесь ${\displaystyle A_{1}=A\cos(\varphi ),A_{2}=A\sin(\varphi )}$. Это подобно тому, как вектор в плоскости с полярными координатами ${\displaystyle (A,\varphi )}$ разлагается в сумму двух векторов ${\displaystyle A_{1}{\vec {x}}+A_{2}{\vec {y}}}$, где ${\displaystyle A_{1}=A\cos(\varphi ),A_{2}=A\sin(\varphi )}$ — декартовы координаты исходного вектора.

Если сигнал не является чистым гармоническим сигналом, но является квазигармоническим, то есть сигналом вида ${\displaystyle s(t)=A(t)\cos(\omega _{0}t+\varphi (t))}$, где амплитуда ${\displaystyle A(t)}$ и фаза ${\displaystyle \varphi (t)}$ меняются со временем, но не очень быстро по сравнению с частотой ${\displaystyle \omega _{0}}$, то мы всё равно можем разложить ${\displaystyle s(t)}$ таким же образом:

${\displaystyle s(t)=A_{1}(t)\cos(\omega _{0}t)-A_{2}(t)\sin(\omega _{0}t),}$

где ${\displaystyle A_{1}(t)=A(t)\cos(\varphi (t))}$, ${\displaystyle A_{2}(t)=A(t)\sin(\varphi (t))}$. Теперь ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ будут тоже зависеть от времени. Это и есть разложение на синфазную и квадратурную составляющие^[1].

Комплексной огибающей сигнала ${\displaystyle s(t)=A(t)\cos(\omega _{0}t+\varphi (t))}$ называется величина

${\displaystyle z(t)=A(t)e^{j\varphi (t)}}$.

Используя формулу Эйлера, комплексную огибающую можно представить в виде ${\displaystyle z(t)=A(t)\cos(\varphi (t))+jA(t)\sin(\varphi (t))=I(t)+jQ(t)}$, где ${\displaystyle j}$ — мнимая единица, ${\displaystyle I(t)}$ — синфазная составляющая сигнала, ${\displaystyle Q(t)}$ — квадратурная составляющая сигнала.

Чтобы получить сигнал ${\displaystyle s(t)}$, зная комплексную огибающую, необходимо использовать формулу^[2]:

${\displaystyle s(t)=Re(z(t)e^{j\omega _{0}t})}$.

• Сигнальное созвездие
• Комплексная амплитуда
• Квадратурная модуляция

• Gast, Matthew. 802.11 Wireless Networks: The Definitive Guide (англ.). — 2. — Sebastopol,CA: O’Reilly Media, 2005. — Vol. 1. — P. 284. — ISBN 0596100523.
• Franks, L.E. Signal Theory (неопр.). — Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1969. — С. 82. — (Information theory). — ISBN 0138100772.
• Steinmetz, Charles Proteus. Lectures on Electrical Engineering (неопр.). — 1. — Mineola,NY: Dover Publications, 2003. — Т. 3. — ISBN 0486495388.
• Steinmetz, Charles Proteus (1917). Theory and Calculations of Electrical Apparatus 6 (1 ed.). New York: McGraw-Hill Book Company. B004G3ZGTM.
• Wade, Graham. Signal Coding and Processing (неопр.). — 2. — Cambridge University Press, 1994. — Т. 1. — С. 10. — ISBN 0521412307.
• Naidu, Prabhakar S. Modern Digital Signal Processing: An Introduction (англ.). — Pangbourne RG8 8UT, UK: Alpha Science Intl Ltd, 2003. — P. 29—31. — ISBN 1842651331.