Сферичность

Сфери́чность — количественная мера того, насколько сферическим (круглым) является объект.

Определённая Х. Уоделлом (H. Wadell) в 1935 году^[1] сферичность $\Psi$ частицы представляет собой отношение площади поверхности сферы (того же объёма, что и данная частица) к площади поверхности частицы:

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}},

где $V_{p}$ равно объёму частицы и $A_{p}$ равно площади поверхности частицы. Сферичность сферы равна единице по определению, а вследствие изопериметрического неравенства сферичность любого другого тела меньше единицы.

Вывод формулы

Хакон Уоделл определил сферичность как отношение площади поверхности сферы равного с данной частицей объёма к площади поверхности данной частицы. Рассмотрим сначала сферическую частицу, у которой площадь поверхности $A_{s}$ , а её объём $V_{p}$ равен объёму исследуемой частицы.

Выразим площадь поверхности этой частицы $A_{s}$ через её объём $V_{p}$ :

A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2}=36\,\pi V_{p}^{2}.

Следовательно,

A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}.

Тогда выражение сферичности $\Psi$ для произвольной частицы, имеющей площадь поверхности $A_{p}$ и объём $V_{p}$ , приобретает вид

\Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}.

Примеры

Эллипсоидальные объекты

Сферичность $\Psi$ сплюснутого сфероида равна

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}},

где a и b равны большой и малой полуосям сфероида.

Сферичность некоторых объектов

Название	Объём	Площадь поверхности	Сферичность
Платоновы тела
Тетраэдр	${\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}$	${\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.671$
Куб (гексаэдр)	$\,s^{3}$	$6\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.806$
Октаэдр	${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}$	$2{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.846$
Додекаэдр	${\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(15+7{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{12\left(25+10{\sqrt {5}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.910$
Икосаэдр	${\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$5{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{60{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.939$
Тела с осевой симметрией
Конус $(h=2{\sqrt {2}}r)$	${\frac {1}{3}}\pi \,r^{2}h$ $={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\pi \,r^{3}$	$\pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$ $=4\pi \,r^{2}$	$\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.794$
Полусфера	${\frac {2}{3}}\pi \,r^{3}$	$3\pi \,r^{2}$	$\left({\frac {16}{27}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.840$
Цилиндр $(h=2\,r)$	$\pi r^{2}h=2\pi \,r^{3}$	$2\pi r(r+h)=6\pi \,r^{2}$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.874$
Тор $(R=r)$	$2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3}$	$4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2}$	$\left({\frac {9}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.894$
Сфера	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	$4\pi \,r^{2}$	$1\,$

См. также

Изопериметрическое отношение

Примечания

↑ Wadell, Hakon. Volume, Shape and Roundness of Quartz Particles (англ.) // Journal of Geology : journal. — 1935. — Vol. 43, no. 3. — P. 250—280. — doi:10.1086/624298.

[1] Wadell, Hakon. Volume, Shape and Roundness of Quartz Particles (англ.) // Journal of Geology : journal. — 1935. — Vol. 43, no. 3. — P. 250—280. — doi:10.1086/624298.

[1]