Сходимость по Эйлеру

Сходимость по Эйлеру — обобщение понятия сходимости знакопеременного ряда, предложенное Эйлером.

Пусть дан числовой ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$ Ряд называется сходящимся по Эйлеру, если существует предел:^[1]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta ^{k}a_{0}}{2^{k+1}}}=s_{e}(A)}$

• Рассмотрим ряд ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}2^{k}}$. Последовательностями разностей будут ${\displaystyle 1,2,4,8,16,...}$, ${\displaystyle -1,-2,-4,-8,...}$, ${\displaystyle 1,2,4,8,...}$, ${\displaystyle -1,-2,-4,-8,...}$, преобразование Эйлера приводит к ряду ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+...={\frac {1}{3}}}$.

• Суммирование по Эйлеру является линейным и регулярным^[1].

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Пуассону — Абелю

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М., 1986. — 408 с.