Теорема Гарнака о кривых

Теорема Гарнака о кривых — утверждение алгебраической геометрии, дающее возможное число связных компонент, которое может иметь алгебраическая кривая в терминах степени кривой — для любой алгебраической кривой степени ${\displaystyle m}$ на вещественной проективной плоскости число компонент ${\displaystyle c}$ ограничено выражением:

${\displaystyle {\frac {1-(-1)^{m}}{2}}\leqslant c\leqslant {\frac {(m-1)(m-2)}{2}}+1}$.

Установлена Акселем Гарнаком в 1876 году; отталкиваясь от этого результата Гильберт сформулировал шестнадцатую проблему.

Максимальное число компонент на единицу больше максимального рода кривой порядка ${\displaystyle m}$, достигаемого в случае несингулярности кривой. Более того, любое число компонент в этом диапазоне возможных значений может быть достигнуто.

Кривая, достигающая максимального числа вещественных компонент, называется ${\displaystyle M}$-кривой (от maximum). Например, эллиптическая кривая с двумя компонентами, такая как ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x,}$ или кривая Тротта, квартика с четырьмя компонентами, являются примерами ${\displaystyle M}$-кривых.

В 2000-е годы установлено, что кривые Гарнака — это кривые, амёба которых имеет площадь, равную многоугольнику Ньютона многочлена ${\displaystyle P}$, который называется характеристической кривой димерных моделей, и любая кривая Гарнака является спектральной кривой некоторой модели димеров^[1][2].

• Гудков Д. А. Топология вещественных проективных алгебраических многообразий // Успехи математических наук. — 1974. — Т. 29, вып. 4. — С. 3–79.
• Harnack C. G. A. Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven. — Math. Ann. — 1876. — Т. 10. — С. 189–199.
• Wilson G. Hilbert's sixteenth problem // Topology. — 1978. — Т. 17. — С. 53–74.
• Richard Kenyon, Andrei Okounkov, Scott Sheffield. Dimers and Amoebae // Annals of Mathematics. — 2006. — Т. 163, вып. 3. — С. 1019–1056. — doi:10.4007/annals.2006.163.1019.
• Grigory Mikhalkin. Amoebas of algebraic varieties. — 2001.