Свойство Дарбу

Свойство Дарбу́ — свойство вещественнозначной функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$, согласно которому образ отрезка есть отрезок: найдутся такие ${\displaystyle c,d\in \mathbb {R} }$, что ${\displaystyle f([a,b])=[c,d]}$.

Выполнение свойства Дарбу для непрерывных функций непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении и теоремы Вейрштрасса — непрерывный образ отрезка всегда есть отрезок. Дарбу установил, что этому свойству могут удовлетворять не только непрерывные функции (теорема Дарбу): если функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема в каждой точке отрезка ${\displaystyle [a,b]}$, то и производная ${\displaystyle f'}$ на этом отрезке обладает свойством Дарбу (даже если эта производная разрывна)^[1].

Возможны и другие случаи, когда разрывные функции обладают свойством Дарбу, например, таков топологический синус, задаваемый с разрывом в нуле:

${\displaystyle \operatorname {Tsin} (x)=\left\{{\begin{matrix}\sin \left({\frac {1}{x}}\right),&x\neq 0\\0,&x=0\end{matrix}}\right.}$.

Пример всюду разрывной функции, обладающей свойством Дарбу, — тринадцатеричная функция Конвея.

Монотонная на заданном отрезке функция обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна на нём.

Теорема Серпинского: любая функция может быть представлена суммой двух функций со свойством Дарбу.

Строгое свойство Дарбу: образ всякого непустого открытого интервала — вся вещественная прямая:

${\displaystyle \forall (a<b\in \mathbb {R} )f{\big (}(a,b){\big )}=\mathbb {R} }$.

Тринадцатеричная функция Конвея удовлетворяет также и строгому свойству^[2].

• Кудрявцев Л. Д. Дарбу теорема // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — Стб. 18. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Darboux theorem  (неопр.). Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ. Начальный курс. — МГУ, 1985.
• Ciesielski K. Set theory for the working mathematician. — Cambridge: Cambridge University Press, 1997. — (London Mathematical Society Student Texts, Vol. 39). — ISBN 0-521-59441-3.