Теорема Каулинга

В осесимметричном поле существует линия O-типа (нейтральная), на этой линии поле равно нулю.

${\displaystyle B={\frac {1}{r^{3}}}}$

Пусть поле линейно растет с увеличением R

${\displaystyle (\mathrm {rot} {\vec {B}})_{\varphi }={\frac {\partial B_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}\neq 0,\ {\vec {j}}_{\varphi }\neq 0}$

${\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=2\pi R{\vec {j}}_{\varphi }\neq 0}$

${\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=\sigma \oint \limits _{O}\left[{\vec {E}}+{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {B}}}{c}}\right]\,{\vec {dl}}}$

Пусть ${\displaystyle \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]\neq 0}$, тогда ${\displaystyle v_{z}B_{\varphi }-v_{\varphi }B_{z}\neq 0}$, но на линии O и ${\displaystyle v_{\varphi }}$, и ${\displaystyle B_{z}}$ равны нулю, следовательно, наше предположение неверно, то есть ${\displaystyle \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]=0}$. Тогда имеем

${\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=\sigma \oint \limits _{O}{\vec {E}}\,{\vec {dl}}=\sigma \int \mathrm {rot} {\vec {E}}\,{\vec {ds}}=-{\frac {\sigma }{c}}\int {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\vec {ds}}=-{\frac {\sigma }{c}}{\frac {d\Phi }{dt}}}$

где введено обозначение для потока магнитного поля через контур:

${\displaystyle \Phi =\int \limits _{0}^{R}2\pi rB_{z}\,dr}$

Таким образом, имеем неравенство

${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dt}}\neq 0}$

то есть поток нестационарен, что противоречит определению линии О, откуда можно сделать вывод, что первоначальное предположение неверно, и в дипольном поле существование динамо невозможно.

Рассмотрим тороидальное магнитное поле

${\displaystyle B_{\varphi }\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {B_{\varphi }}{r\rho }}\right)={\frac {c^{2}}{4\pi \sigma \rho r}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rB_{\varphi }\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}B_{\varphi }}{\partial z^{2}}}\right\}}$

где

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi \sigma \rho r}}}$ — коэффициент диффузии.

Сравнивая с уравнением диффузии понимаем, что динамо невозможно.