Теорема Люрота

Теорема Люрота описывает подполя поля рациональных функций от одной переменной ${\displaystyle k(x)}$, содержащие поле констант ${\displaystyle k}$, другими словами, подрасширения чисто трансцендентного расширения степени трансцендентности 1. Названа в честь Якоба Люрота, который доказал её в 1876 году.

Теорема. Пусть ${\displaystyle k}$ — поле, а ${\displaystyle k(x)}$ — поле рациональных функций от одной переменной. Тогда каждое промежуточное подполе ${\displaystyle k\subset \Sigma \subset k(x)}$ имеет вид ${\displaystyle \Sigma =k(f)}$ для некоторой рациональной функции ${\displaystyle f}$. Таким образом, оно также является полем рациональных функций от одной переменной.

В геометрических терминах теорема формулируется следующим образом:

Теорема. Пусть ${\displaystyle k}$ — поле. Пусть ${\displaystyle f:\mathbb {P} _{k}^{1}\to C}$ — непостоянный морфизм из проективной прямой в неособую кривую ${\displaystyle C}$ над ${\displaystyle k}$. Тогда ${\displaystyle C}$ изоморфна проективной прямой.

Замечания:

• Для степени трансцендентности 2 теорема Люрота остаётся верной в характеристике 0 (теорема Кастельнуово). Более точно, пусть ${\displaystyle k}$ — алгебраически замкнутое поле характеристики 0 и ${\displaystyle L}$ — подрасширение ${\displaystyle k(x,y)/k}$. Тогда ${\displaystyle L}$ совпадает с ${\displaystyle k}$ или изоморфно полю рациональных функций от одной или двух переменных над ${\displaystyle k}$. Это не верно в положительной характеристике, что показывают примеры Зарисского и Сиоды.
• Для степени трансцендентности 3 этот результат не верен даже над ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Теорему Люрота нетрудно доказать, используя алгебро-геометрические понятия, такие как род кривой. Тем не менее, хотя эта теорема часто воспринимается как неэлементарная, существуют короткие её доказательства, использующие лишь элементарные факты теории полей. По-видимому, все эти доказательства используют лемму Гаусса о примитивных многочленах.^[1]
• Чтобы найти образующую поля ${\displaystyle \Sigma }$ над ${\displaystyle k}$, нужно найти минимальную линейную зависимость над полем ${\displaystyle \Sigma }$ степеней переменной ${\displaystyle x}$ (то есть, его минимальный многочлен с коэффициентами из ${\displaystyle \Sigma }$ и старшим коэффициентом 1). Любой из коэффициентов в этом соотношении, отличный от константы, и будет образующей поля ${\displaystyle \Sigma }$.
• Если поле ${\displaystyle \Sigma }$ содержит хотя бы один многочлен из ${\displaystyle k[x]}$, отличный от константы, его образующей также является многочлен.