Теорема Чеботарёва о матрице Вандермонда

Теорема Чеботарёва о матрице Вандермонда (теорема о корнях из единицы) — утверждение о неравенстве нулю всех миноров матрицы Вандермонда для корней из единицы. Установлено в 1930-е годы советским математиком Николаем Чеботарёвым.

Согласно теореме, для любого простого числа ${\displaystyle p}$ все миноры матрицы Вандермонда ${\displaystyle \|a_{jk}\|_{0}^{p-1}}$, где ${\displaystyle a_{jk}=\varepsilon ^{jk}}$ и ${\displaystyle \varepsilon =\exp \left({\frac {2\pi i}{p}}\right)}$, — отличны от нуля.

Результат имеет важное значение для цифровой обработки сигналов, так как матрица Вандермонда для корней из единицы — одно из представлений дискретного преобразования Фурье.

Матрица максимальных входящих лесов орграфа является собственным проектором его лапласовской матрицы.

Теорема впервые появилась в работе Чеботарёва в 1926 году и представляет собой конкретизацию общей идеи о линейной независимости характеров конечных абелевых групп. Она используется в теории групп, алгебраической теории чисел и теории представлений.

Позднее теорема приобрела важное значение в теории числовых полей, теории Галуа и в криптографии, особенно при изучении дискретного преобразования Фурье над конечными полями.

Теорема Чеботарёва играет важную роль в следующих областях:

• Дискретное преобразование Фурье (ДПФ): Теорема гарантирует обратимость матрицы ДПФ, построенной на корнях из единицы, что делает возможным вычисление обратного преобразования.
• Кодирование и криптография: Используется при построении обратимых матриц, необходимых в кодах Рида–Соломона и других полиномиальных кодах.
• Анализ алгоритмов: Связана с быстрым преобразованием Фурье (БПФ), которое активно применяется в цифровой обработке сигналов.

Классическая матрица Вандермонда строится из элементов вида ${\displaystyle x_{i}^{j}}$, где ${\displaystyle x_{i}}$ — заданные числа. Если ${\displaystyle x_{i}=\omega ^{i}}$, где ${\displaystyle \omega }$ — корень из единицы, то получаем частный случай, изучаемый в теореме Чеботарёва.

Определитель классической матрицы Вандермонда: ${\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

Если ${\displaystyle x_{i}}$ — различные корни из единицы, то все ${\displaystyle x_{j}-x_{i}\neq 0}$, и, соответственно, ${\displaystyle \det(V)\neq 0}$.

• Матрица Вандермонда
• Корень из единицы
• Примитивный корень
• Дискретное преобразование Фурье
• Линейная независимость

• Преобразование Фурье
• Алгебраическая теория чисел

1. Общероссийский портал Math-Net.Ru

2. J.-P. Serre — Linear Representations of Finite Groups

3. R. Lidl, H. Niederreiter — Finite Fields

4. J.H. Conway & N.J.A. Sloane — Sphere Packings, Lattices and Groups

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — С. 55—56. — 304 с.

• Чеботарёв Н. Г. О корнях из единицы, принадлежащих полиному. — Журнал Русского физико-математического общества, сер. 2, т. 14 (1926), с. 201–207. Архивировано на Mathnet.ru
• Serre, J.-P. Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, 1977. ISBN 978-0387901906.
• Lidl, R., Niederreiter, H. Finite Fields, Cambridge University Press, 1997. ISBN 978-0521044328.
• Conway, J.H., & Sloane, N.J.A. Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, 1999. ISBN 978-0387985852.