Теорема Эрдёша — Галлаи

Теорема Эрдёша — Галлаи (критерий Эрдёша — Галлаи) — утверждение в теории графов, задающее условие, при котором конечной последовательности натуральных чисел можно сопоставить степени вершин некоторого графа. Такие последовательности чисел называются графическими. Теорема доказана венгерскими математиками Палом Эрдёшем и Тибором Галлаи (венг. Gallai Tibor)^[1] в 1960 году.

Для формулировки утверждения вводятся следующие определения:

• правильная последовательность — последовательность натуральных чисел длины ${\displaystyle n}$, удовлетворяющая следующим условиям:
  1. ${\displaystyle n-1\geq d_{1}\geq d_{2}\geq \ldots \geq d_{n}}$,
  2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}}$ — чётное число;
• графическая последовательность чисел — последовательность ${\displaystyle (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n})}$ целых неотрицательных чисел такая, что существует граф, последовательность степеней вершин которого совпадает с ней.

Теорема утверждает, что правильная последовательность ${\displaystyle (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n})}$ является графической тогда и только тогда, когда для каждого ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$, верно неравенство:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{{d_{i}}\leq k(k-1)}+\sum _{i=k+1}^{n}{\min\{k,{d_{i}}}\}}$.

Построить граф по графической последовательности можно полиномиальным алгоритмом, который строится на основании критерия Гавела — Хакими^[2].

• Лекции по теории графов / В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. — М.: Наука, 1990.