H-кобордизм

${\displaystyle h}$-кобордизм^[1] — бордизм ${\displaystyle (W;M,M')}$, где ${\displaystyle W}$ — компактное дифференцируемое многообразие, край которого ${\displaystyle \partial W}$ — объединение непересекающихся замкнутых многообразий ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$, являющихся деформационными ретрактами ${\displaystyle W}$. Простейший пример — тривиальный ${\displaystyle h}$-кобордизм ${\displaystyle (M\times [0,1];M\times 0,M\times 1)}$.

Многообразия ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$ называются ${\displaystyle h}$-кобордантными, если существует ${\displaystyle h}$-кобордизм ${\displaystyle (W;M,M')}$ соединяющий их.

Теорема об ${\displaystyle h}$-кобордизме: если ${\displaystyle (W;M,M')}$ — ${\displaystyle h}$-кобордизм, где ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$ — односвязные гладкие (или кусочно линейные) многообразия и ${\displaystyle \operatorname {dim} W\geqslant 6}$, то ${\displaystyle W}$ диффеоморфно (кусочно линейно изоморфно) тривиальному ${\displaystyle h}$-кобордизму. В частности, ${\displaystyle M}$ диффеоморфно ${\displaystyle M'}$. Результат получен Стивеном Смейлом, который использовал его в доказательстве обобщённой гипотезы Пуанкаре в размерностях, бо́льших четырёх.

Если убрать условие односвязности кобордантных многообразий ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$, то препятствием к тривиальности кобордизма между ними является кручение Уайтхеда. Теорема об ${\displaystyle s}$-кобордизме гласит, что кобордизм между двумя многообразиями является тривиальным тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда обнуляется.

• Дж. Милнор. Теорема об ${\displaystyle h}$-кобордизме. — М.: Мир, 1969. — 116 с.
• С. Смейл. Обобщённая гипотеза Пуанкаре в размерностях, бо́льших четырёх // Математика. — 1962. — Т. 6, вып. 3. — С. 139–155.