Точка роста

Точками роста функции ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ называются все точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ такие, что существует ${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$ такое, что для любого ${\displaystyle \varepsilon \in (0,\varepsilon _{0})}$ выполнено неравенство

${\displaystyle |F(x+\varepsilon )-F(x-\varepsilon )|>0}$.

Понятие «точка роста» часто используется в теории вероятностей по отношению к функциям распределения случайных величин. Так как такие функции являются неубывающими, то в определении точки роста неравенство имеет вид:

${\displaystyle F(x+\varepsilon )-F(x-\varepsilon )>0}$.

• Спектром ${\displaystyle Sp(x)}$ функции ${\displaystyle F(x)}$ называется множество точек роста функции ${\displaystyle F(x)}$, то есть

${\displaystyle Sp(x)=\left\{x\colon \,|F(x+\varepsilon )-F(x-\varepsilon )|>0,\ \forall \varepsilon >0\right\}.}$

• Непрерывная функция распределения называется сингулярной, если множество точек роста имеет меру Лебега равную нулю. Вероятностная мера, взаимно однозначно соответствующая сингулярной функции распределения, также называется сингулярной.