Уравнение Шрёдера

С помощью ${\displaystyle \Phi (z)}$ можно обобщить функциональные композиции ${\displaystyle P_{t}(z)=P\circ P\circ ...\circ P(z)}$ (итерация ${\displaystyle t}$ раз) с дискретного параметра ${\displaystyle t}$ на непрерывный

${\displaystyle P_{t}(z):=\Phi ^{-1}(p^{t}\Phi (z)).}$

Например, при ${\displaystyle t=1/2}$ мы получаем функциональный квадратный корень, который удовлетворяет уравнению ${\displaystyle P_{\frac {1}{2}}(P_{\frac {1}{2}}(z))=P(z)}$.

Пусть

${\displaystyle P(z)=p_{1}z+p_{2}z^{2}+p_{3}z^{3}+...,\ \ \ p_{1}\neq 0}$

производящая функция для ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона ${\displaystyle X_{t+1}=\sum _{j=1}^{X_{t}}\xi _{j}^{(t)},\ X_{0}=1}$, в котором хотя бы одна частица выживает (${\displaystyle p_{0}=0}$). Соответственно, все ${\displaystyle \xi _{j}^{(t)}}$ независимы и одинаково распределены, с дискретной характеристической функцией ${\displaystyle P(z)}$. Тогда, если ${\displaystyle p_{1}\neq 1}$, рост популяции будет экспоненциальный. Тем не менее, вероятность того, что на каждом шаге будет лишь одна частица, не нулевая ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t}=1)=p_{1}^{t}\neq 0}$. Можно даже определить отношения редких событий в пределе и их генерирующую функцию

${\displaystyle \varphi _{n}:=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\mathbb {P} (X_{t}=n)}{\mathbb {P} (X_{t}=1)}},\ \ \ \Phi (z):=\varphi _{1}z+\varphi _{2}z^{2}+\varphi _{3}z^{3}+....}$

Тогда ${\displaystyle \Phi (z)}$ будет удовлетворять уравнению Шрёдера с начальными условиями^[8][9]

${\displaystyle \Phi (P(z))=p_{1}\Phi (z),\ \ \ \Phi (0)=0,\ \ \ \Phi '(0)=1.}$