Формула Гаусса

Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства. В частности, если объемлющее пространство евклидово, то гауссова кривизна поверхности равна произведению главных кривизн в этой точке.

Это формула входит в уравнения Петерсона ― Кодацци.

Пусть ${\displaystyle S}$ — двумерная поверхность в трёхмерном римановом пространстве ${\displaystyle M}$. Тогда

${\displaystyle K_{S}(x)=K_{M}(\sigma _{S}(x))+\kappa _{1}(x)\kappa _{2}(x),}$

где

• ${\displaystyle K_{S}}$ — гауссова кривизна поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle x\in S}$,
• ${\displaystyle K_{M}(\sigma _{S}(x))}$ — секционная кривизна пространства ${\displaystyle M}$ в направлении ${\displaystyle \sigma _{S}(x)}$, касательном к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle x}$,
• ${\displaystyle \kappa _{1}(x)}$, ${\displaystyle \kappa _{2}(x)}$ — главные кривизны поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle x.}$

Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия ${\displaystyle S\subset M}$. В этом случае тензор кривизны ${\displaystyle R_{S}}$ подмногообразия ${\displaystyle S}$ выражается через сужение тензора кривизны ${\displaystyle R_{M}}$ пространства ${\displaystyle M}$ на подпространство касательное к ${\displaystyle S}$ и вторую квадратичную форму ${\displaystyle q_{S}}$ подмногообразия ${\displaystyle S}$ на касательном пространстве ${\displaystyle TS}$ со значениями в нормальном пространстве к ${\displaystyle S}$:^[1]

${\displaystyle \langle R_{S}(X,Y)Z,W\rangle =\langle R_{M}(X,Y)Z,W\rangle +\langle q_{S}(Y,W),q_{S}(X,Z)\rangle -\langle q_{S}(X,W),q_{S}(Y,Z)\rangle .}$

Следует иметь в виду, что разные авторы определяют тензор кривизны с разным знаком и порядком аргументов. Здесь предполагается, что ${\displaystyle \langle R_{S}(X,Y)X,Y\rangle \geqslant 0}$ в случае неотрицательной секционной кривизны.

Дополнительный член в формуле можно выразить через произведение Кулкарни — Номидзу:

${\displaystyle \langle R_{S}(X,Y)Z,W\rangle =\langle R_{M}(X,Y)Z,W\rangle +{\tfrac {1}{2}}\cdot q_{S}{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}q_{S}((X,Y,Z,W).}$

Из формулы Гаусса можно вывести следующие две формулу для скалярной кривизны ${\displaystyle n}$-мерного подмногообразия ${\displaystyle S}$ в объемлющем многообразии ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \mathrm {Sc} _{S}=\mathrm {Sc} _{M}+|H_{S}|^{2}-|q_{S}|^{2}=\mathrm {Sc} _{M}+{\tfrac {3}{2}}\cdot |H_{S}|^{2}-{\tfrac {n\cdot (n+2)}{2}}\cdot {\text{Ж}}_{S},}$

где ${\displaystyle H_{S}}$ обозначает вектор средней кривизны, а ${\displaystyle {\text{Ж}}_{S}}$ — средний квадрат нормальных кривизн в точке.^[2]

• 1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.
• 2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981, Т. 2, стр. 30.