Формула Грассмана

Формула Грассмана — математическая формула, описывающая размерность подпространства конечномерного пространства. Выведена немецким учёным Г. Г. Грассманом.

Если линейное пространство ${\displaystyle V}$ конечномерно, то конечномерными будут и все линейные подпространства в ${\displaystyle V}$, причём, по свойству монотонности размерности, размерности подпространств не превышают размерность всего пространства.

Вычисление размерности может быть сделано по формуле:

${\displaystyle \dim(L_{1}\cap L_{2})=\dim(L_{1})+\dim(L_{2})-\dim(L_{1}+L_{2})\Longleftrightarrow \dim(L_{1}\cap L_{2})+\dim(L_{1}+L_{2})=\dim(L_{1})+\dim(L_{2}).}$

Положим ${\displaystyle \dim L_{1}=k}$ , ${\displaystyle \dim L_{2}=l}$ , ${\displaystyle \dim(L_{1}\cap L_{2})=m}$ . Так как ${\displaystyle (L_{1}\cap L_{2})\subset L_{1},L_{2}}$, то ${\displaystyle m\leq k}$ и ${\displaystyle m\leq l}$. Выберем в ${\displaystyle L_{1}\cap L_{2}}$ какой-нибудь базис ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{m})}$ и дополним его, с одной стороны, до базиса ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{m};{\boldsymbol {a}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {a}}_{k-m})}$ подпространства ${\displaystyle L_{1}}$ , а с другой — до базиса ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{m};{\boldsymbol {b}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {b}}_{l-m})}$ подпространства ${\displaystyle L_{2}}$. Каждый вектор суммы ${\displaystyle L_{1}+L_{2}}$ имеет вид ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}}$ , где ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in L_{1}}$ , ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in L_{2}}$ , а это значит, что

${\displaystyle L_{1}+L_{2}=\langle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{m};{\boldsymbol {a}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {a}}_{k-m};{\boldsymbol {b}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {b}}_{l-m}\rangle }$ .

Если мы покажем, что система

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{m};{\boldsymbol {a}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {a}}_{k-m};{\boldsymbol {b}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {b}}_{l-m}}$

линейно независима и, стало быть, имеет место соотношение

${\displaystyle \dim(L_{1}+L_{2})=m+(k-m)+(l-m)=k+l-m}$ ,

совпадающее с сформулированным в условии теоремы, доказательство будет завершено. Предположим, что это не так, и пусть

${\displaystyle \displaystyle \sum _{s=1}^{m}\gamma _{s}{\boldsymbol {e}}_{s}+\displaystyle \sum _{i=1}^{k-m}\alpha _{i}{\boldsymbol {a}}_{i}+\displaystyle \sum _{j=1}^{l-m}\beta _{j}{\boldsymbol {b}}_{j}={\boldsymbol {0}}}$

— нетривиальное линейное соотношение. Тогда мы имеем

${\displaystyle \displaystyle \sum _{s=1}^{m}\gamma _{s}{\boldsymbol {e}}_{s}+\displaystyle \sum _{i=1}^{k-m}\alpha _{i}{\boldsymbol {a}}_{i}=-\displaystyle \sum _{j=1}^{l-m}\beta _{j}{\boldsymbol {b}}_{j}}$ ,

где в левой части равенства стоит элемент из ${\displaystyle L_{1}}$ , а в правой — элемент из ${\displaystyle L_{2}}$ . Значит, перед нами вектор из ${\displaystyle L_{1}\cap L_{2}}$ , и мы можем записать ${\displaystyle -\displaystyle \sum _{j=1}^{l-m}\beta _{j}{\boldsymbol {b}}_{j}=\displaystyle \sum _{s=1}^{m}\delta _{s}{\boldsymbol {e}}_{s}}$ , или

${\displaystyle \displaystyle \sum _{s=1}^{m}\delta _{s}{\boldsymbol {e}}_{s}+\displaystyle \sum _{j=1}^{l-m}\beta _{j}{\boldsymbol {b}}_{j}={\boldsymbol {0}}}$ .

Но линейная зависимость базисной системы ${\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{m};{\boldsymbol {b}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {b}}_{l-m}\}}$ подпространства ${\displaystyle L_{2}}$ должна быть тривиальной. В частности, ${\displaystyle \beta _{1}=\beta _{2}=\dots =\beta _{l-m}=0}$ , и тогда, исходя из начального соотношения, приходим к аналогичной линейной зависимости базисной системы ${\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{m};{\boldsymbol {a}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {a}}_{k-m}\}}$ подпространства ${\displaystyle L_{1}}$ , которая также является тривиальной: ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=\dots =\gamma _{m}=\alpha _{1}=\dots =\alpha _{k-m}=0}$ . Мы пришли к желаемому противоречию.

• Яцкин Н. И. Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы: Учебное пособие. — Иваново : Ивановский гос. ун-т 2008. — 607 с.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру: В 3-х ч. Ч. II: Линейная алгебра. — Пятое издание, стереотип. — М.: МЦНМО, 2023. — 368 с.