Хеммингова сфера

Хеммингова сфера ${\displaystyle S_{t}\left({\vec {v}}\right)}$ радиуса ${\displaystyle t}$ c центром в точке ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — множество всех векторов (точек) в двоичном векторном пространстве ${\displaystyle V_{2}}$ находящихся на расстоянии ${\displaystyle t}$ от заданного вектора ${\displaystyle {\vec {v}}}$:

${\displaystyle S_{t}\left({\vec {v}}\right)=\left\{{\vec {x}}\in C|d_{H}\left({\vec {x}},{\vec {v}}\right)=t\right\}}$

Хеммингов шар ${\displaystyle B_{t}\left({\vec {v}}\right)}$ радиуса ${\displaystyle t}$ c центром в точке ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — множество всех векторов (точек) в двоичном векторном пространстве ${\displaystyle V_{2}}$ на расстоянии не более ${\displaystyle t}$ от заданного вектора ${\displaystyle {\vec {v}}}$:

${\displaystyle B_{t}\left({\vec {v}}\right)=\left\{{\vec {x}}\in C|d_{H}\left({\vec {x}},{\vec {v}}\right)\leq t\right\}}$

Если размерность двоичного векторного пространства ${\displaystyle V_{2}}$ равна ${\displaystyle n}$, то количество точек (векторов), принадлежащих ${\displaystyle S_{t}\left({\vec {v}}\right)}$ равно:

${\displaystyle \left|{S_{t}\left({\vec {v}}\right)}\right|={\binom {n}{t}}}$

Если размерность двоичного векторного пространства ${\displaystyle V_{2}}$ равна ${\displaystyle n}$, то количество точек (векторов), принадлежащих ${\displaystyle B_{t}\left({\vec {v}}\right)}$ равно:

${\displaystyle \left|{B_{t}\left({\vec {v}}\right)}\right|=\sum \limits _{i=0}^{t}|S_{i}({\vec {v}})|=\sum \limits _{i=0}^{t}{\binom {n}{i}}}$

• Морелос-Сарагоса Р. 1.1.2. Хеммингово расстояние, Хемминговы сферы и корректирующая способность // Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение / пер. с англ. В. Б. Афанасьева. — М.: Техносфера, 2006. — С. 20—23. — (Мир связи). — 2000 экз. — ISBN 5-94836-035-0.