Числа Якобсталя

Числа Якобсталя — целочисленная последовательность, названная в честь немецкого математика Э. Э. Якобсталя.

Как и числа Фибоначчи, числа Якобсталя — одна из последовательностей Люка

${\displaystyle U_{n}(P,Q),}$

для которой P = 1 и Q = −2^[1]. Последовательность начинается с чисел^[1][2]

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10 923, 21 845, 43 691, 87 381, 174 763, 349 525, …

Числа Якобсталя определяются рекуррентным отношением^[1][2]

${\displaystyle J_{n}={\begin{cases}0,&n=0;\\1,&n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2},&n>1.\\\end{cases}}}$

Другие варианты рекуррентного задания последовательности^[2]:

• ${\displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n}}$
• ${\displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n}}$

Число Якобсталя с заданным номером можно вычислить с помощью формулы^[1][2]

${\displaystyle J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.}$

Числа Якобсталя-Люка представляют собой последовательность Люка ${\displaystyle V_{n}(1,-2)}$. Они удовлетворяют тем же рекуррентным отношениям, что и числа Якобсталя, но отличаются начальными значениями^[1]:

${\displaystyle j_{n}={\begin{cases}2,&n=0;\\1,&n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2},&n>1.\\\end{cases}}}$

Альтернативная формула^[3]:

${\displaystyle j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.}$

Число Якобсталя-Люка с заданным номером можно вычислить с помощью формулы^[3]

${\displaystyle j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.}$

Последовательность Якобсталя-Люка начинается с чисел^[1][3]

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16 385, 32 767, 65 537, 131 071, 262 145, 524 287, 1 048 577, …

• A. F. Horadam (Май 1994). Jacobsthal representation numbers (PDF) (англ.).
• Paul Barry (Апрель 2003). Triangle Geometry and Jacobsthal Numbers (PDF) (англ.). Irish Math. Soc. Bulletin.
• Zvonko Čerin (2007). Sums of Squares and Products of Jacobsthal Numbers (PDF) (англ.). Vol. 10. Journal of Integer Sequences.

• Последовательность A049883 в OEIS: простые числа Якобсталя