Алгебра Алберта

Алгебра Алберта — это 27-мерная исключительная йорданова алгебра. Она названа в честь Абрахама Адриана Алберта, который был пионером в изучении неассоцитивных алгебр, обычно рассматриваемых над действительными числам. Над действительными числами существуют три такие йордановы алгебры с точностью до изоморфизма. Одна из них, которая была впервые упомянута Паскуалем Йорданом, Джоном фон Нейманом и Юджином Вигнером (1934) и изучена Албертом (1934), является множеством самосопряжённых матриц 3х3 над октонионами, снабжённым бинарной операцией

${\displaystyle x\circ y={\frac {1}{2}}(x\cdot y+y\cdot x),}$

где ${\displaystyle \cdot }$ обозначает обычное матричное умножение. Вторая алгебра определяется похожим образом, но используя сплит-октонионы вместо октонионов. Последняя строится из не сплит-октонионов используя другие стандартные инволюции.

Над алгебраически замкнутым полем существует только одна алгебра Алберта, и её группа автоморфизмов G является простой расщепляемой группой типа F₄. (Например, комплексификация трёх алгебр Алберта над действительными числами изоморфна алгебре Алберта над комплексными числами.) Поэтому для общего поля F алгебры Алберта классифицируются с помощью группы когомологий Галуа H¹(F,G).

Конструкция Кантора — Кёхера — Титса, применённая к алгебре Алберта, даёт алгебру Ли E₇. Расщепляемая алгебра Алберта используется для построения 56-мерной структурируемой алгебры, группа автоморфизмов которой имеет единичную компоненту односвязной алгебраической группы типа E₆.

Пространство когомологических инвариантов алгебры Алберта поля F (характеристики не 2) с коэффициентами в Z/2Z является свободным модулем над кольцом когомологий F с базисом 1, f₃, f₅ степеней 0, 3, 5.^[1] Когомологические инварианты с коэффициентами 3-кручения имеют базис 1, g₃ степеней 0, 3.^[2] Инварианты f₃ и g₃ являются первичными компонентами инварианта Роста.

• Jordan, Pascual; Neumann, John von; Wigner, Eugene (1934), "On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism", Annals of Mathematics, 35 (1): 29–64, doi:10.2307/1968117, JSTOR 1968117
• Albert, A. Adrian (1934), "On a Certain Algebra of Quantum Mechanics", Annals of Mathematics, Second Series, 35 (1): 65–73, doi:10.2307/1968118, ISSN 0003-486X, JSTOR 1968118

• Ширшов А.И., Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., «Кольца, близкие к ассоциативным», М.: Наука, 432 страниц, 1978