Выпуклый слой

Представим структуру выпуклого слоя ${\displaystyle C=A\setminus {\bar {B}}}$ в следующем комплексно-вещественном пространстве^[2]:

${\displaystyle \mathbb {E} ^{n+2}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}=\{z,\,u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{n}\},\,n\geqslant 1.}$

1. Вещественные проекции. Вещественная структура выпуклого слоя выглядит следующим образом. Спроектируем определённые выше точечные множества ${\displaystyle A,\,B,\,C\subset \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}}$, на вещественное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\{u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{n}\},\,n\geqslant 1.}$ Получим следующие проекции^[2]:

• проекция выпуклой области ${\displaystyle A}$ — выпуклая область ${\displaystyle U_{A}\subset \mathbb {R} ^{n}}$;
• проекция выпуклой области ${\displaystyle B}$ — выпуклая подобласть ${\displaystyle U_{B}\subset U_{A}\subset \mathbb {R} ^{n}}$;
• проекция области ${\displaystyle C}$ — область ${\displaystyle U_{C}\subset U_{A}\subset \mathbb {R} ^{n}}$.

В этом случае выпуклый слой есть снова разность двух точечных множеств ${\displaystyle U_{C}=U_{A}\setminus {\overline {U_{B}}}}$, ${\displaystyle {\overline {U_{B}}}\subset U_{A}}$, а при ${\displaystyle n=1}$ множество ${\displaystyle U_{C}}$ — два непересекающихся интервала оси ${\displaystyle u}$^[2].

2. Комплексные слои. Комплексная структура выпуклого слоя в комплексно-вещественном пространстве выглядит следующим образом. Для этого представим точечные множества ${\displaystyle A,\,B\subset \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}}$ в виде множества срезов-«слоёв»^[2]:

${\displaystyle A=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}\colon \,u\in U_{A},\,z\in D_{A}(u)\},}$

${\displaystyle C=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}\colon \,u\in U_{A},\,z\in D_{C}(u)\}.}$

В этом случае достаточно очевидно, что если ${\displaystyle u\in U_{A}\setminus U_{\bar {B}}}$, то оба множества ${\displaystyle D_{A}(u)}$ и ${\displaystyle D_{C}(u)}$ суть двумерные выпуклые области, а если ${\displaystyle u\in U_{\bar {B}}}$, то множество ${\displaystyle D_{C}(u)}$ образуется из множества ${\displaystyle D_{A}(u)}$ путём исключения одной точки или некоторой замкнутой кривой со своей внутренностью^[4].

Сферический слой — точечное множество ${\displaystyle S}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z)}$, которое можно определить как следующую разность двух концентрических шаров с центром в точке ${\displaystyle a}$, где уменьшаемое — открытый шар, а вычитаемое — замкнутый шар^[3]:

${\displaystyle S=B(a,\,R)\setminus {\bar {B}}(a,\,r),\quad }$ ${\displaystyle 0<r<R}$,

или сразу как следующее обобщённое кольцо с центром в начале координат^[11][12]:

${\displaystyle S=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,r<|z|<R,\,0<r<R\}}$.

В случае простейшего комплексно-вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} (z,\,u)}$ сферический слой ${\displaystyle S}$ с центром в начале координат можно определить следующей формулой^[11]:

${\displaystyle S=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} \colon \,r^{2}<|z|^{2}+u^{2}<R^{2}\}.}$