Голоморфная выпуклость

Голомо́рфная вы́пуклость (англ. holomorphic convexity^[1], от др.-греч. ὅλος — весь и др.-греч. μορφή — форма, образ^[2]) области комплексного пространства — понятие комплексного анализа, раздела математики, связанное с невозможностью коснуться границы области изнутри аналитической поверхностью. Это частный максимальный случай К-выпуклости^[3]: произвольная К-выпуклая область всегда голоморфно выпукла^[4].

Синоним: аналитическая выпуклость^[5].

Голоморфная выпуклость обобщает более наглядное понятие обычной геометрической выпуклости, но при этом доставляет необходимое и достаточное условие для областей голоморфности^[6]^[7].

Определение голоморфной выпуклости

Голоморфная выпуклость — свойство области $D\in \mathbb {C} ^{n}$ такое, что для произвольного множества $A$ , компактно принадлежащего $D$ , $A\Subset D$ , множество

F_{A}\equiv \bigcup \limits _{f\in H_{D}}\{z\in \mathbb {C} \colon \,|f(z)|\leqslant \sup \limits _{z\in A}|f(z)|,\,z\in D\}

компактно в $D$ , $F_{A}\Subset D$ . Другими словами, область $D\in \mathbb {C} ^{n}$ называется голоморфно выпуклой, когда для любого множества $A$ , компактно принадлежащего $D$ , $A\Subset D$ , существует такое множество $F_{A}$ , $A\subset F_{A}\Subset D$ , что для произвольной точки $z^{0}\in D\setminus F_{A}$ найдется такая функция $f$ , голоморфная в области $D$ , $f\in H_{D}$ , что выполняется следующее неравенство^[8]:

\sup \limits _{z\in A}|f(z)|<|f(z^{0})|

.

Альтернативное определение. Голоморфно выпуклая оболочка произвольного множества $A\subset D$ — множество точек

F_{A}=\{z^{0}\in D\colon \,|f(z^{0})|\leqslant \sup \limits _{z\in A}|f(z)|\}

,

где данное неравенство верно для всех функций $f$ , голоморфных в области $D$ , $f\in H_{D}$ . Область $D\in \mathbb {C} ^{n}$ называется голоморфно выпуклой, когда голоморфно выпуклая оболочка $F_{A}$ любого множества $A$ , компактно принадлежащего $D$ , также компактно принадлежит $D$ ^[9]^[10]:

A\Subset D\Rightarrow F_{A}\Subset D

.

Такие определения голоморфно выпуклой области хороши тем, что с их помощью можно определять голоморфную выпуклость, не выходя за пределы области. Очевидно, что для линейных голоморфных функций голоморфная выпуклость совпадает с обычной геометрической выпуклостью. Для иллюстрации на рисунке справа продемонстрировано, каким образом обычная невыпуклость области нарушает условие $A\Subset D\Rightarrow F_{A}\Subset D$ ^[11].

Характеристика области голоморфности

Достаточность области голоморфности

Теорема 1. Условие голоморфной выпуклости области комплексного пространства необходимо и достаточно для того, чтобы она была областью голоморфности^[12]^[7].

Но эта характеристика менее наглядна и эффективно проверяемая, чем условие обычной геометрической выпуклости. Теория субгармонических функций позволяет обосновать другую трактовку характеристики области голоморфности, которая более геометрична и позволяет определить эффективные критерии областей голоморфности^[12].

Достаточность утверждения теоремы формулируется в виде следующей теоремы^[13].

Теорема 2 (Картан и Туллен). Любая голоморфно выпуклая область $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ есть область голоморфности^[14].

Доказательство^[15]

1. Нумерация счётного множества. Всегда имеется не более чем счётное множество точек из $\partial D$ , всюду плотное на ${\{P\}}$ , причём функция, неограниченная в точках такого не более чем счётном множестве, будет также неограниченноё и на всём произвольном множестве $\{P\}$ . Следовательно, $\{P\}$ можно считать тоже не более чем счётным, и тогда можно построить такую последовательность точек $P_{k}\in \{P\}$ , что в ней любая точка из $\{P\}$ встречается бесконечное количество раз. Например, построим следующую последовательность:

P_{1};\,P_{1},\,P_{2};\,P_{1},\,P_{2},\,P_{3};\,\dots ,

где $P_{1},\,P_{2},\,P_{3},\,\dots$ — пронумерованные точки из $\{P\}$ . Теорема будет доказана, если найдётся такая голоморфная в области $D$ функция $f$ и такая последовательность точек $Q_{k}\in D$ , что

|Q_{k}-P_{k}|\to 0

,

f(Q_{k})\to \infty

,

k\to \infty

,

поскольку каждая точка $P\in \{P\}$ встречается в построенной последовательности бесконечное число раз, и всегда можно будет выделить из $Q_{k}$ такую подпоследовательность $Q'_{k}$ , что $Q'_{k}\to P$ , а $f(Q'_{k})\to \infty$ .

Примечания

↑ Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 5.4 Approximation Problems. Exercises 17, p. 240.
↑ Голоморфная функция, 1988.
↑ Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Выпуклость, 1977, стб. 800.
↑ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 16. Голоморфная выпуклость. 2. К-выпуклые области, с. 162.
↑ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, § 4. Видоизмененная выпуклость, с. 101.
↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 27. Понятие областей голоморфности, с. 158.
1 2 Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 16. Голоморфная выпуклость. 6. Голоморфно выпуклые области, с. 168.
↑ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 16. Голоморфная выпуклость. 2. К-выпуклые области, с. 161—162.
↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 28. Голоморфная выпуклость, с. 158—159.
↑ Хёрмандер, Ларс. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, 1968, 5.1. Определения, с. 146.
↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 28. Голоморфная выпуклость, с. 159.
1 2 Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 28. Голоморфная выпуклость, с. 163.
↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 28. Голоморфная выпуклость, с. 161.
↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 28. Голоморфная выпуклость, с. 160.
↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 27. Понятие областей голоморфности, с. 155—156; 28. Голоморфная выпуклость, 160.

Источники

Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Выпуклость // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 799—800.
Владимиров В. С. Голоморфная область // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 1030—1032.
Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика Н. Н. Боголюбова. М.: «Наука», 1964. 411 с.: ил.
Голоморфная функция // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 159.
Хёрмандер, Ларс. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных / Пер. с англ. Е. М. Чирки, под ред. Б. В. Шабата. М.: «Мир», 1968. 279 с.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.
Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables: Second edition. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 1951. 564 p. 1992 held by the American Mathematical Society. Printed with corrections, 2001.

[_77256711eb6c6794-1] Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 5.4 Approximation Problems. Exercises 17, p. 240.

[_e0042ebef22534cd-2] Голоморфная функция, 1988.

[_fd428b95d1950081-3] Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Выпуклость, 1977, стб. 800.

[_84af919e5c6cbef9-4] Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 16. Голоморфная выпуклость. 2. К-выпуклые области, с. 162.

[_91d87cd83cd85526-5] Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, § 4. Видоизмененная выпуклость, с. 101.

[_68d28a9041471639-6] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 27. Понятие областей голоморфности, с. 158.

[_c7a823c931f159bf-7] 1 2 Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 16. Голоморфная выпуклость. 6. Голоморфно выпуклые области, с. 168.

[_1f408c1aa2d237c5-8] Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 16. Голоморфная выпуклость. 2. К-выпуклые области, с. 161—162.

[_580e71b6e0fa6cab-9] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 28. Голоморфная выпуклость, с. 158—159.

[_ebe286f570de54eb-10] Хёрмандер, Ларс. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, 1968, 5.1. Определения, с. 146.

[_d08adbd80a6ee603-11] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 28. Голоморфная выпуклость, с. 159.

[_b2948bcedb9ee7f6-12] 1 2 Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 28. Голоморфная выпуклость, с. 163.

[_c81969cee8ff4bc0-13] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 28. Голоморфная выпуклость, с. 161.

[_d2847cceef661eb7-14] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 28. Голоморфная выпуклость, с. 160.

[_431d9ce207c63e51-15] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 27. Понятие областей голоморфности, с. 155—156; 28. Голоморфная выпуклость, 160.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]