Характеристика областей голоморфности

Характери́стика областе́й голомо́рфности (англ. characterization of domains of holomorphy^[1]) - условия, характеризующие области голоморфности в комплексном пространстве^[2][3].

Содержание этой статьи составляет изучение следующей теоремы^[2].

Теорема. Следующие пять условий эквивалентны^[2][4]:

(I) ${\displaystyle D}$ — область голоморфности;

(II) ${\displaystyle D}$ голоморфно выпукла;

(III) ${\displaystyle D}$ в любой граничной точке голоморфно не расширяема;

(IV) ${\displaystyle D}$ выпукла в смысле Леви;

(V) ${\displaystyle D}$ псевдовыпукла.

Это стандартное определение области голоморфности^[2].

Область голоморфности (англ. domain of holomorphy^[5][6], от др.-греч. ὅλος — весь и др.-греч. μορφή — форма, образ^[7]) — понятие комплексного анализа, раздела математики, область комплексного пространства такая, что существует функция, голоморфная в этой области, но не голоморфно продолжаемая в какую-нибудь бо́льшую область (точнее, не продолжаемая за пределы области)^{[8][9][10][11][12][6]}.

Другими словами, область голоморфности — область комплексного пространства такая, что нет никакого участка её границы, через который можно было бы голоморфно продолжить любую функцию, голоморфную в этой области^[13], другими словами, для любого участка границы области в ней найдётся голоморфная функция, которую нельзя продолжить через этот участок^[5][6].

Синоним: область регулярности^[12].

Область голоморфности функции — область комплексного пространства такая, что функция в ней голоморфна, но не голоморфна в какой-нибудь бо́льшей области, то есть голоморфно не продолжается за пределы области^[9][8][11]. Область голоморфности — область голоморфности какой-нибудь функции^[14], то есть максимальная область существования какой-нибудь функции ${\displaystyle f(z)}$^[5].

Синонимы: область существования функции^[9][11]; естественная область определения функции^[8]; область регулярности функции^[11].

На комплексной плоскости любая область голоморфна: всегда имеется некоторая функция, которая голоморфна в этой области и не продолжается аналитически за её границу^{[15][8][16][17][6]}.

Но в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 2}$, ситуация совсем другая. Например, голоморфные функции в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ не могут иметь изолированных особенностей: особенности «распространяются» определенным образом^[17]. В ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 2}$, не каждая область голоморфна, то есть имеются области, из которых любая голоморфная в ней функция всегда продолжается в более обширную область. Например, не логарифмически выпуклая область Рейнхарта^[15]. Также не голоморфна область с полостью, то есть вид разности множеств

${\displaystyle D\setminus K\subset \mathbb {C} ^{n}}$,

где ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\supset D\supset K}$ — компактное множество^[8][1].

Неправильно считать, что область голоморфности в комплексном пространстве есть просто область того же пространства, равная своему голоморфному расширению, поскольку голоморфное продолжение функции из исходной области может привести к многолистной области^[18].

Открытое множество голоморфности — открытое множество (может быть, многосвязное) комплексного пространства, все связные компоненты которого суть области голоморфности^[16]

• Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
• Владимиров В. С. Голоморфная область // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 1030—1032.
• Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика Н. Н. Боголюбова. М.: «Наука», 1964. 411 с.: ил.
• Голоморфная функция // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 159.
• Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных: 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 1962. 419 с.
• Хёрмандер, Ларс. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных / Пер. с англ. Е. М. Чирки, под ред. Б. В. Шабата. М.: «Мир», 1968. 279 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.
• Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables: Second edition. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 1951. 564 p. 1992 held by the American Mathematical Society. Printed with corrections, 2001.