Двадцатиугольник

Двадцатиугольник
Правильный двадцатиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	${\displaystyle 20}$
Символ Шлефли	${\displaystyle \{20\},\mathrm {t} \{10\},\mathrm {tt} \{5\}}$
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (${\displaystyle D_{20}}$)
Площадь	${\displaystyle 5t^{2}(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})}$
Внутренний угол	${\displaystyle 162^{\circ }}$
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный, изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Двадцатиугольник — это многоугольник с двадцатью сторонами и двадцатью углами. Сумма внутренних углов любого двадцатиугольника составляет 3240 градусов.

Правильный двадцатиугольник имеет символ Шлефли ${\displaystyle \{20\}}$, и может быть построен как усечённый десятиугольник, ${\displaystyle \mathrm {t} \{10\}}$, или дважды усечённый пятиугольник, ${\displaystyle \mathrm {tt} \{5\}}$.

Каждый из внутренних углов в правильном двадцатиугольнике равен ${\displaystyle 162^{\circ }}$, а это значит, что каждый из внешних углов равен ${\displaystyle 18^{\circ }}$.

Площадь правильного двадцатиугольника с длиной стороны ${\displaystyle t}$ равна

${\displaystyle A={5}t^{2}(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})\simeq 31.5687\cdot t^{2}.}$

Площадь многоугольника, выраженная через радиус ${\displaystyle R}$ его описанной окружности равна

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{2}}({\sqrt {5}}-1);}$

Поскольку площадь круга равна ${\displaystyle \pi R^{2},}$ правильный двадцатиугольник заполняет примерно ${\displaystyle 98,36~\%}$ своей описанной окружности.

Построение

Так как ${\displaystyle 20=2^{2}\cdot 5}$, правильный двадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, или при помощи разбиения сторон правильного десятиугольника, или двойного разбиения сторон правильного пятиугольника.

• При построении с заданной длиной стороны, дуга окружности с центром ${\displaystyle C}$ и радиусом ${\displaystyle {\overline {CD}}}$, разделяет сегмент ${\displaystyle {\overline {E_{20}F}}}$ в отношении, равном золотому сечению.

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{20}E_{1}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{20}F}}{\overline {E_{20}E_{1}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618}$

Симметрии правильного двадцатиугольника образуют диэдральную группу ${\displaystyle \mathrm {D} _{20}}$. В ней можно выделить пять подгрупп диэдральных симметрий (${\displaystyle \mathrm {D} _{10},\mathrm {D} _{5},\mathrm {D} _{4},\mathrm {D} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathrm {D} _{1}}$), и шесть циклических подгрупп (${\displaystyle \mathrm {Z} _{20},\mathrm {Z} _{10},\mathrm {Z} _{5},\mathrm {Z} _{4},\mathrm {Z} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$). Все различные подгруппы симметрий правильного двадцатиугольника могут быть графически отображены диаграммой из ${\displaystyle 16}$ элементов.

В данной диаграмме, предложенной Джоном Конвеем, каждая подгруппа симметрии обозначена буквой и собственным порядком.^[1] Вся группа симметрий названа ${\displaystyle \mathrm {r} 40}$, а тривиальная подгруппа, соответствующая полному отсутствию симметрии, обозначена как ${\displaystyle \mathrm {a} 1}$. Диэдрические группы симметрии делятся на те, оси симметрий которых проходят только через вершины (${\displaystyle \mathrm {d} }$ — diagonal), только через рёбра (${\displaystyle \mathrm {p} }$ — perpendicular) или через и то, и другое (такая подгруппа обозначена буквой ${\displaystyle \mathrm {i} }$). Циклические симметрии обозначены буквой ${\displaystyle \mathrm {g} }$ (англ. gyration) и своим порядком.

Группа симметрий любого неправильного двадцатиугольника образует подгруппу ${\displaystyle \mathrm {D} _{20}}$. Среди них наиболее симметричными являются фигуры, соответствующие симметриям ${\displaystyle \mathrm {d} 20}$ (изогональный двадцатиугольник, построенный при помощи десяти зеркал с чередованием длинных и коротких рёбер) и ${\displaystyle \mathrm {p} 20}$ (изотоксальный двадцатиугольник, в котором все стороны равны между собой, но внутренние углы при вершинах чередуются). Эти две формы двойственны друг другу и каждая из них обладает половиной симметрий правильного двадцатиугольника.

Двадцатиугольник, разбитый на 180 ромбов

Правильное разбиение

Изотоксальное разбиение

По Коксетеру, любой зоногон (${\displaystyle 2m}$-угольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу) может быть разбит на ${\displaystyle m(m-1)/2}$ параллелограммов^[2]. В частности, это так для всех правильных многоугольников с чётным числом сторон — в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для двадцатиугольника ${\displaystyle m=10}$, а значит, его можно разбить на ${\displaystyle 45}$ параллелограммов: ${\displaystyle 5}$ квадратов и ${\displaystyle 4}$ набора ромбов — по ${\displaystyle 10}$ в каждом. Это разбиение основано на проекции Декеракта в виде многоугольника Петри с ${\displaystyle 45}$ гранями из ${\displaystyle 11520}$. Согласно данным из последовательности A006245, количество всевозможных описанных разбиений ${\displaystyle 20}$-угольника равно ${\displaystyle 18410581880}$, если зеркальные и повёрнутые копии разбиения считать различными.

Изображение декеракта и примеры разбиения 20-угольника на 45 ромбов

Декеракт

Икосаграмма — звёздчатый многоугольник с двадцатью сторонами, имеющий символ Шлефли ${\displaystyle \{20/n\}}$. Есть три правильных икосаграммы с символами Шлефли ${\displaystyle \{20/3\}}$, ${\displaystyle \{20/7\}}$ и ${\displaystyle \{20/9\}}$. Есть также ещё 5 звёздчатых многоугольников с тем же относительным расположением вершин: ${\displaystyle 2\{10\}}$, ${\displaystyle 4\{5\}}$, ${\displaystyle 5\{4\}}$, ${\displaystyle 2\{10/3\}}$, ${\displaystyle 4\{5/2\}}$ и ${\displaystyle 10\{2\}}$.

n	1	2	3	4	5
Форма	Выпуклый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Фото	${\displaystyle \{20/1\}=\{20\}}$	${\displaystyle \{20/2\}=2\{10\}}$	${\displaystyle \{20/3\}}$	${\displaystyle \{20/4\}=4\{5\}}$	${\displaystyle \{20/5\}=5\{4\}}$
Внутренний угол	${\displaystyle 162^{\circ }}$	${\displaystyle 144^{\circ }}$	${\displaystyle 126^{\circ }}$	${\displaystyle 108^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$
n	6	7	8	9	10
Форма	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Фото	${\displaystyle \{20/6\}=2\{10/3\}}$	${\displaystyle \{20/7\}}$	${\displaystyle \{20/8\}=4\{5/2\}}$	${\displaystyle \{20/9\}}$	${\displaystyle \{20/10\}=10\{2\}}$
Внутренний угол	${\displaystyle 72^{\circ }}$	${\displaystyle 54^{\circ }}$	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle 18^{\circ }}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$

Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут привести к изогональным (вершинно-транзитивным) промежуточным формам икосаграмм с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер.^[3]

Правильную икосаграмму {20/9} можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник, t{10/9}={20/9}. Аналогично декаграмма {10/3} имеет квазиусечение t{10/7}={20/7}, и, наконец, простое усечение декаграммы дает t{10/3}={20/3}.

Икосаграммы, как усечения правильных десятиугольников и декаграмм, {10}, {10/3}.

Квазирегулярный					Квазирегулярный
t{10}={20}					t{10/9}={20/9}
t{10/3}={20/3}					t{10/7}={20/7}

Многоугольники Петри

Правильный двадцатиугольник является многоугольником Петри для ряда политопов, что показано в ортогональных проекциях на плоскость Коксетера:

A19	B10		D11	E8	H4	½2H2	2H2
19-симплекс	10-ортоплекс	Декеракт	11-полукуб	(421)	Шестисотячейник	Великая антипризма	10-10 дуопирамида	10-10 дуопризма

Он также является многоугольником Петри для икосаэдрального 120-ячейника, малого звездчатого 120-ячейника, великого икосаэдрического 120-ячейника и большого великого 120-ячейника.