Элемент длины

Элеме́нт длины́^[1] (англ. line element; length element) — понятие математического анализа и дифференциальной геометрии, точнее — интегрального исчисления, элемент интегрирования, главная линейная часть приращения длины кривой, то есть малый отрезок касательной к кривой в рассматриваемой точке. Синонимы: дифференциал длины дуги^[2], дифференциал дуги^[2]^[3], элемент дуги^[2], линейный элемент^[4].

Обозначается $dl$ или^[2] $ds$ . При вычислении циркуляции векторного поля представляется в векторной форме как

d{\vec {l}}=dl\cdot {\vec {e}}_{t}

,

где ${\vec {e}}_{t}$ — единичный вектор вдоль касательной^[5]^[6]^[7]^[8].

Математическая запись элемента длины зависит от типа системы координат и вида рассматриваемой кривой. В случае декартовой системы элемент длины плоской кривой может выражаться формулой^[2]^[3]^[9]^[10]^[11]

dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+y'^{2}}}dx

.

Её правомерность видна из геометрических рассуждений. Пусть аргумент есть абсцисса $x$ . Элемент длины $dl$ отвечает длине части $MP$ касательной к дуге от точки касания $M$ до пересечения $P$ с приращённой ординатой (см. рис.)^[2]. Дифференциал $dx$ равен $MQ$ , дифференциал $dy=QP$ , и по теореме Пифагора для $dl=MP$ получается выписанное выражение^[2]. По сути, формула приравнивает приращение касательной к дуге $dl$ к главной части приращения длины дуги $\Delta l={\stackrel {\smile }{MN}}$ ^[9].

Квадрат элемента длины, выраженный через координаты пространства, называется метрической формой пространства^[4].

Длина $L$ плоской или пространственной дуги ${\stackrel {\smile }{AB}}$ в любом пространстве находится как криволинейный интеграл первого рода^[4]^[12]:

L=\int _{(A)}^{(B)}1\,dl

.

Элемент длины используется при вычислении криволинейных интегралов. Определённым интегралом с интегральным элементом длины можно выразить целый ряд геометрических и физических величин, например, длину кривой (с подынтегральной функцией 1), площадь или объём (со скалярной подынтегральной функцией), циркуляцию физического вектора по некоему контуру (с векторной подынтегральной функцией)^[6]^[13].

Аналоги элемента длины больших размерностей — элемент площади и элемент объёма, которые принципиально отличаются от элемента длины тем, что не являются приращениями соответствующих величин — площади и объёма^[14].

Элемент длины в декартовых координатах

Двумерный (плоский) случай

Рассмотрим на плоскости параметрически заданную кривую $L$ , определяемую в декартовой системе координат параметрическими уравнениями

x=\varphi (t),\quad

y=\psi (t),

причём у функций $\varphi (t)$ и $\psi (t)$ производные непрерывны на отрезке $[\alpha ,\beta ]$ . В силу формулы вычисления длины отрезка кривой длина $l(t)$ переменной дуги задаётся следующей формулой^[3]:

l(t)=\int _{\alpha }^{t}{\sqrt {\varphi '^{2}(\tau )+\psi '^{2}(\tau )}}d\tau .

В этой формуле подынтегральная функция непрерывна, следовательно,

l'(t)={\sqrt {\varphi '^{2}(t)+\psi '^{2}(t)}}

по свойству интеграла с верхним переменным пределом. Обе части этого равенства возведём в квадрат и потом умножим на $dt^{2}$ , получим:

(l'(t)dt)^{2}=(\varphi '(t)dt)^{2}+(\psi '(t)dt)^{2},

откуда по причине того, что

l'(t)dt=dl,\quad

\varphi '(t)dt=dx,\quad

\psi '(t)dt=dy,

окончательно получаем квадрат элемента длины^[3]:

dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}.

Если в качестве параметра уравнений кривой взять длину $l$ переменной дуги (естественная параметризация), то есть положить

x=g(l),\quad

y=h(l),

то тогда имеет место следующее равенство^[3]:

\left({\frac {dx}{dl}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dl}}\right)^{2}=1.

Общий трёхмерный случай

Обобщая полученные результаты на трёхмерное пространство, получаем, что для параметрически заданной пространственной кривой $L$ , определяемой в декартовой системе координат параметрическими уравнениями

x=\varphi (t),\quad

y=\psi (t),\quad

z=\chi (t),

причём у функций $\varphi (t)$ , $\psi (t)$ и $\chi (t)$ производные непрерывны на отрезке $[\alpha ,\beta ]$ , верна следующая формула для квадрата элемента длины^[11]^[15]^[16]:

dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.

Из этой формулы следует, что если в качестве параметра уравнений пространственной кривой взять длину $l$ переменной дуги, то есть положить

x=g(l),\quad

y=h(l),\quad

z=k(l),

то тогда имеет место следующее равенство^[16]^[17]:

\left({\frac {dx}{dl}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dl}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dl}}\right)^{2}=1.

Элемент длины в криволинейных координатах

Плоский случай, полярные координаты

Элемент длины в полярной системе координат определяется следующей формулой^[18]:

dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}.

Элемент длины $dl$ в полярных координатах

Вычислим элемент длины на плоскости в полярной системе координат. Пусть даны некоторая дуга и произвольная точка $M$ на ней (см. рис.). Проведём координатную окружность (с центром в начале координат $O$ ) радиуса $OM=\rho$ . Рассмотрим криволинейный треугольник $MKN$ , образованный дугой окружности ${\stackrel {\smile }{MK}}=\rho \Delta \varphi$ , отрезком $KN=\Delta \rho$ и частью ${\stackrel {\smile }{MN}}=\Delta l$ исходной дуги, причём у этого треугольника угол при вершине $K$ прямой. Теорема Пифагора для такого криволинейного треугольника в точности не соблюдается, но когда дуга ${\stackrel {\smile }{MN}}$ бесконечно мала, сумма квадратов «катетов» эквивалентна квадрату «гипотенузы»:

{\stackrel {\smile }{MN}}\approx {\sqrt {KN^{2}+{\stackrel {\smile }{KM}}\,\!^{2}}}

,

то есть в других обозначениях

\Delta l\approx {\sqrt {\Delta \rho ^{2}+\rho ^{2}\Delta \varphi ^{2}}}\approx {\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}

,

а эта формула и представляет элемент длины дуги $l$ в полярной системе координат^[18].

Дифференциал дуги в полярной системе координат можно вычислить, исходя из элемента длины в декартовой системе координат

dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}

,

используя формулы, выражающие декартовы координаты через полярные^[19]:

x=\rho \cos \varphi ,\quad

y=\rho \sin \varphi .

Действительно, вычислим дифференциалы координат

dx=d(\rho \cos \varphi )=\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi

,

dy=d(\rho \sin \varphi )=\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi

и подставим эти равенства в элемент длины в декартовых координатах, получим^[19]:

dl={\sqrt {(\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi )^{2}+(\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi )^{2}}}=

={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}

.

Цилиндрическая и сферическая системы

Запись трёхмерного элемента длины в цилиндрических и сферических координатах представлена в таблице. Цилиндрическая запись при $z=0$ и сферическая при $\theta =\pi /2$ превращаются в выражение для случая полярной системы^[20]^[21]^[22]^[23].

Система координат	Переменные	Квадрат элемента длины	Коэффициенты Ламе
Декартова	$x,\,y,\,z$	$dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$	$L_{x}=L_{y}=L_{z}=1$
Цилиндрическая	$\rho ,\,\varphi ,\,z$	$dl^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}$	$L_{\rho }=L_{z}=1,$ $L_{\varphi }=\rho$
Сферическая	$\rho ,\,\theta ,\,\varphi$	$dl^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}+\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \ d\varphi ^{2}$	$L_{\rho }=1,$ $L_{\theta }=\rho ,$ $L_{\varphi }=\rho \sin \theta$

Некоторые несложные примеры расчёта

Для кривой $y=x^{2}$ имеем

dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left|dy/dx\right|^{2}}}\,dx={\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx={\sqrt {1+4y}}\,dx

,

{\vec {e}}_{l}={\frac {dx}{dl}}\,{\vec {e}}_{x}+{\frac {dy}{dl}}\,{\vec {e}}_{y}={\frac {dx}{{\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx}}\,{\vec {e}}_{x}+{\frac {dy}{{\sqrt {1+4y}}\,dx}}\,{\vec {e}}_{y}={\frac {{\vec {e}}_{x}}{\sqrt {1+4x^{2}}}}+{\frac {2x\,{\vec {e}}_{y}}{\sqrt {1+4y}}}

.

Ещё пример: для исходящего из начала координат луча ( $\theta =\theta _{0}=$ const, $\varphi =\varphi _{0}=$ const) будет

dl=d\rho ={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}=|\cos \theta _{0}|^{-1}\,dz

,

{\vec {e}}_{l}={\vec {e}}_{\rho }=\sin \theta _{0}\cos \varphi _{0}\,{\vec {e}}_{x}+\sin \theta _{0}\sin \varphi _{0}\,{\vec {e}}_{y}+\cos \theta _{0}\,{\vec {e}}_{z}

.

И ещё: элемент длины арки циклоиды

x=a(t-\sin t),\quad

y=a(1-\cos t)

равен^[24]:

dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=a{\sqrt {2(1-\cos t)}}dt=2a\sin {\frac {t}{2}}\,dt,\quad

0\leqslant t\leqslant 2\pi ,\quad a>0.

Элемент длины в римановых пространствах

В этом разделе представлены квадраты элемента длины, то есть метрические формы, в некоторых важнейших римановых пространствах^[4].

Евклидово $n$ -мерное пространство^[4]:

dl^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}

.

Плоскость Лобачевского^[25]:

dl^{2}={\frac {1}{k^{2}}}{\frac {(1-y^{2})dx^{2}+2xydxdy+(1-x^{2})dy^{2}}{(1-x^{2}-y^{2})^{2}}}

,

где $k<0$ — постоянная, которая называется кривизной пространства Лобачевского; $k^{2}(x^{2}+y^{2})<1$ ^[26].

Трёхмерное пространство Лобачевского^[4]:

dl^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{\left[1+{\displaystyle {\frac {k}{4}}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\right]^{2}}},\quad

1+{\frac {k}{4}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})>0

.

Пространство Минковского^[4]:

dl^{2}=dt-{\frac {1}{c^{2}}}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})

,

где $c$ ― скорость света, $t$ ― время события. В пространстве Минковского элемент длины может принимать мнимое значение^[4].

Финслерово пространство^[27]:

dl=f(x^{1},\dots ,x^{n};dx^{1},\dots ,dx^{n})

,

где $f(x^{1},\dots ,x^{n};dx^{1},\dots ,dx^{n})$ — произвольная положительно однородная функция относительно аргументов $dx^{1},\dots ,dx^{n}$ .

Элемент длины в произвольных координатах

Для элемента длины $dl$ выведем формулу в произвольных координатах, опираясь на формулу в декартовых^[28] и ради краткости ограничиваясь двумерной ситуацией (хотя рассуждения можно распространить на трёхмерную).

Пусть задана система координат $(u,\,v)$ , определяемая уравнениями

x=x(u,\,v),\quad y=y(u,\,v),

позволяющими по координатам $u$ и $v$ любой точки вычислить её декартовы координаты $x$ и $y$ . Примем^[28], что функции $x=x(u,\,v)$ и $y=y(u,\,v)$ непрерывно дифференцируемы и обратимы, а якобиан этих функций не равен нулю: $\det[D(x,\,y)}/{D(u,\,v)]\neq 0$ .

Пусть, далее, дана некоторая кривая $u=u(t),$ $v=v(t),$ и пусть $dt$ — изменение параметра $t$ , а $dl$ — элемент длины этой кривой, соответствующий $dt$ . Тогда, подставив в уравнение

dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}

величины

dx={\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv,\quad dy={\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv

,

где $du=u'(t)dt$ , $dv=v'(t)dt$ , получим^[29]:

dl^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}

,

где $E={\frac {\partial x}{\partial u}}^{2}+{\frac {\partial y}{\partial u}}^{2}$ , $F={\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial y}{\partial u}}{\frac {\partial y}{\partial v}}$ , $G={\frac {\partial x}{\partial v}}^{2}+{\frac {\partial y}{\partial v}}^{2}$ .

$E$ , $F$ и $G$ суть величины, которые при выбранных координатах $(u,\,v)$ полностью задаются выписанными выше уравнениями в любой точке плоскости, причём независимо от выбора кривой, проходящей через эту точку. Напротив, оба дифференциала $du$ и $dv$ определяются только перемещением точки с координатами $u$ и $v$ .

Другими словами, выражение для $dl^{2}$ есть квадратичная форма (метрическая форма) с аргументами $du$ , $dv$ и коэффициентами $E$ , $F$ , $G$ ^[30]. Полученная формула выражает длину на евклидовой плоскости в произвольных координатах и как частный случай содержит прежнюю формулу для длины в декартовых^[30].

Элемент длины в приложениях

Подынтегральная функция 1

Помимо чисто геометрических задач, понятие скалярного «элемента длины» широко применяется в физике при расчёте длины траектории частицы. Скажем, если траектория задана зависимостью радиус-вектора от времени ${\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_{y}+z(t){\vec {e}}_{z}$ , то $dx={\dot {x}}dt$ (и так же для других компонент) и

L[t_{0},\ldots t]=\int _{t_{0}}^{t}dl=\int _{t_{0}}^{t}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}(\tau )+{\dot {y}}^{2}(\tau )+{\dot {z}}^{2}(\tau )}}\,d\tau

,

где точка над символом означает производную по времени.

Элемент поверхности вращения

Пусть плоская дуга ${\stackrel {\smile }{AB}}$ вращается вокруг оси $OX$ . Тогда в трёхмерном пространстве получается поверхность вращения, площадь которой равна следующему выражению (см. рис.):

S=\int _{(A)}^{(B)}2\pi y\,dl

,

где $y$ — ордината меридиана $AB$ , $dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$ — элемент длины дуги меридиана, $2\pi ydl$ — элемент поверхности вращения, $(A)$ и $(B)$ — крайние значения параметра $t$ , через которые выражены координаты $x=x(t)$ , $y=y(t)$ ^[31]^[32]^[33].

Вычислим площадь поверхности вращения. Разделим поверхность вращения $ABB'A'$ на параллельные кольца, а каждое кольцо $MNN'M'$ заменим на боковую поверхность усечённого конуса, сохранив основания. Так как площади поверхностей этих усечённых конусов эквивалентны, то площадь кольца $MNN'M'$

S_{MNN'M'}\approx \pi (PM+QN)MN

,

а поскольку

PM+QN=2y+\Delta y

,

{\stackrel {\smile }{MN}}\approx MN=\Delta l

то

S_{MNN'M'}\approx \pi (2y+\Delta y)\Delta l\approx 2\pi y\Delta l

,

откуда и следует доказываемая формула^[31]:

S=\int _{(A)}^{(B)}2\pi y\,dl

.

Пример. Найдём площадь поверхности, которая получается при вращении арки циклоиды

x=a(t-\sin t),\quad

y=a(1-\cos t)

вокруг её основания. Сразу получаем^[34]:

dl=2a\sin {\frac {t}{2}}\,dt,\quad

0\leqslant t\leqslant 2\pi ,

S=\int _{0}^{2\pi }2\pi a(1-\cos t)\cdot 2a\sin {\frac {t}{2}}\,dt=

=8\pi a^{2}\int _{0}^{2\pi }\sin ^{3}{\frac {t}{2}}\,dt={\frac {64}{3}}\pi a^{2}.

Сравним полученный результат с площадью осевого сечения, то есть с двойной площадью арки циклоиды $6\pi a^{2}$ , получим, что площадь поверхности вращения превышает площадь сечения в $3{\frac {5}{9}}$ раза^[35].

Пример. Найдём площадь поверхности, которая получается при вращении куска параболы

x=t,\quad

y=t^{2},\quad

0\leqslant x\leqslant 1

вокруг оси $x$ . Сразу получаем^[36]:

dl={\sqrt {1+4t^{2}}},\quad

S=2\pi \int _{0}^{1}t^{2}{\sqrt {1+4t^{2}}}\,dt.

Пример. Найдём площадь $S$ сферы радиуса $r$ . Эту сферу можно задать вращением полуокружности

y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad

-r\leqslant x\leqslant r,

вокруг оси абсцисс. Но такое явное задание окружности не непрерывно дифференцируемо, поскольку производная $y'=-{\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ бесконечна при $x=\pm r$ . Поэтому для удобства зададим окружность параметрически^[37]:

x=r\cos t,\quad

y=r\sin t,\quad

0\leqslant t\leqslant \pi .

Тогда получаем^[37]:

x'=-r\sin t,\quad

y'=r\cos t,

dl=rdt,\quad

S=2\pi r^{2}\int _{0}^{\pi }\sin t\,dt=4\pi r^{2}.

Пример. Найдём площадь $S$ катеноида, то есть поверхности, которая получается при вращении дуги цепной линии

x=t,\quad

y=a\operatorname {ch} {\frac {t}{a}},\quad

-b\leqslant t\leqslant b

вокруг оси абсцисс. Сразу получаем^[37]:

x'=1,\quad

y'=\operatorname {sh} {\frac {t}{a}},

dl={\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}{\frac {t}{a}}}},\quad

S=2\pi a\int _{-b}^{b}\operatorname {ch} {\frac {t}{a}}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}{\frac {t}{a}}}}\,dt=

=2\pi a\int _{-b}^{b}\operatorname {ch} ^{2}{\frac {t}{a}}\,dt=\pi a\int _{-b}^{b}\left(1+\operatorname {ch} {\frac {2t}{a}}\right)\,dt=\pi a\left(2b+a\operatorname {sh} {\frac {2b}{a}}\right).

Работа силы

Рассмотрим движение материальной точки $M$ по непрерывно дифференцируемой кривой $AB=\{r=r(l)\}$ , где $l$ — переменная длина дуги, $0\leqslant l\leqslant L$ , причём на точку $M$ в положении $r(l)$ действует сила ${\vec {F}}(l)$ , направленная по касательной к траектории материальной точки в направлении движения и имеющая модуль $F(l)$ . Тогда работа $W$ силы ${\vec {F}}(l)$ вдоль кривой $AB$ выражается следующей формулой^[38]:

W=\int _{0}^{L}F(l)\,dl

.

В случае, когда положение материальной точки на траектории её движения задаётся на основе другого параметра $t$ (например, времени), причём длина пройденного пути

l=l(t),\quad

a\leqslant t\leqslant b,

непрерывно дифференцируема, то получаем следующую формулу^[39]:

W=\int _{a}^{b}F(l(t))l'(t)\,dt

.

Статические моменты и центр тяжести кривой

Определения

Статические моменты точки $M$ относительно осей $Ox$ и $Oy$ — произведения $my$ и $mx$ соответственно, где $m$ — масса материальной точки $M$ , имеющей координаты $x$ и $y$ на плоскости^[40].

Рассмотрим спрямляемую кривую $AB=\{r(l),\,0\leqslant l\leqslant L\}$ , где $l$ — переменная длина дуги. Кривая $AB$ имеет массу, причём масса её дуги прямо пропорциональна длине дуги, то есть масса дуги длиной $\Delta l$ равна $\Delta m=\rho \Delta l$ , где $\rho$ — некоторая постоянная^[40].

Линейная плотность кривой $AB$ — коэффициент пропорциональности $\rho ={\frac {\Delta m}{\Delta l}}$ , где дуга длиной $\Delta l$ имеет массу $\Delta m$ , то есть плотность кривой есть массе длины её дуги, которая приходится на единицу длины этой дуги^[40].

Однородная кривая — кривая с линейной плотностью^[40].

Пусть для простоты в дальнейшем $\rho =1$ , то есть дуга длиной $\Delta l$ имеет массу $\Delta l$ , в частности, масса всей кривой $AB$ равна $L$ ^[40].

Момент кривой относительно оси — момент $M_{x}$ ( $M_{y}$ ) кривой $AB$ относительно оси $Ox$ ( $Oy$ ) равен следующей величине^[41]:

M_{x}=\int _{0}^{L}y\,dl\quad

\left(M_{y}=\int _{0}^{L}x\,dl\right)

.

Центр тяжести кривой — точка плоскости $P(x_{0},\,y_{0})$ такая, что если в ней находится материальная точка с массой $L$ всей кривой $AB$ , то тогда статический момент этой точки относительно любой координатной оси равен статическому моменту ей кривой относительно той же оси^[41].

По определению получаем, что

x_{0}L=M_{y},\quad

y_{0}L=M_{x},

то есть имеем следующие формулы^[41]:

x_{0}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}x\,dl,\quad

y_{0}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}y\,dl.

Теорема Гульдина

Теорема Гульдина. Площадь поверхности вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси равна произведению длины этой кривой и длины окружности, которая описана центром тяжести этой кривой^[42].

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести кривой (непрерывно дифференцируемой без особых точек)

y_{0}L=\int _{0}^{L}y\,dl

с формулой площади поверхности вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

S=\int _{0}^{L}2\pi y\,dl

,

имеем интересное соотношение

S=2\pi y_{0}L

,

которое и доказывает теорему^[42].

Если у кривой известно положение центра тяжести, то тогда по теорема Гульдина легко находится площадь поверхности вращения этой кривой^[42].

Примеры

Площадь поверхности вращения окружности

Найдём площадь поверхности, полученной вращением окружности

S=(x-a)^{2}+y^{2}=r^{2},\,\quad

0<r<a,

не пересекающей ось $Oy$ , вокруг этой оси, то есть площадь поверхности тора. Поскольку центр окружности совпадает с её центром тяжести, имеем^[42]:

S=2\pi a\cdot 2\pi r=4\pi ^{2}ar

,

Центр тяжести цепной линии

Найдём центр тяжести цепной линии, выраженной следующей формулой^[42]:

y=a\operatorname {ch} {\frac {x}{a}},\quad

-b\leqslant x\leqslant b.

Цепная линия симметрична относительно оси $Oy$ , поэтому момент

M_{y}=0

,

что легко доказать: выберем за начало отсчёта дуг пересечение цепной линии с осью $Oy$ , и пусть $2L$ — длина цепной линии, тогда

M_{y}=\int _{-L}^{L}x(l)\,dl=0

,

так как $x(l)$ — нечётная функция. И поскольку $2Lx_{0}=M_{y}$ , то получаем первую координату центра тяжести^[42]:

x_{0}=0

.

Рассмотрим выражение для следующего момента

M_{x}=\int _{-L}^{L}y\,dl

,

причём

2\pi M_{x}=2\pi y_{0}L=S_{x}

,

где $S_{x}$ — площадь поверхности вращения цепной линии вокруг оси $Ox$ , то есть площадь поверхности катеноида. Но сама по себе площадь поверхности катеноида $S_{x}=\pi a\left(2b+a\operatorname {sh} {\frac {2b}{a}}\right)$ , следовательно, получаем следующее уравнение^[42]:

M_{x}={\frac {a}{2}}\left(2b+a\operatorname {sh} {\frac {2b}{a}}\right)

.

С другой стороны, назначенную длину цепной линии $2L$ легко определить по формуле

2L=\int _{-b}^{b}dl=\int _{-b}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dx=

=\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{a}}}}\,dx=\int _{-b}^{b}\operatorname {ch} {\frac {x}{a}}=a\operatorname {sh} {\frac {x}{a}}{\Bigr |}_{-b}^{b}=2a\operatorname {sh} {\frac {b}{a}}

,

откуда вытекает следующая формула для второй координаты центра тяжести^[43]:

y_{0}={\frac {M_{x}}{2L}}={\frac {2b+a\operatorname {sh} {\displaystyle {\frac {2b}{a}}}}{4\operatorname {sh} {\displaystyle {\frac {b}{a}}}}}

.

Векторный элемент. Циркуляция

Рассмотрим в области $\Omega$ трёхмерного пространства векторное поле, которое задано вектор-функцией ${\vec {a}}(M)$ , где $M\in \Omega$ — переменная точка. Циркуляцию векторного поля вдоль некоторой кусочно-гладкой кривой $AB\subset \Omega$ можно записать в виде криволинейного интеграла от скалярного произведения векторов

\int _{AB}{\vec {a}}\,{\vec {e}}_{t}\,dl=\int _{AB}{\vec {a}}\,d{\vec {l}},\quad

{\frac {d{\vec {l}}}{dl}}={\vec {e}}_{t},

где ${\vec {e}}_{t}$ — единичный вектор касательной к кривой $AB$ (и к дуге ${\stackrel {\smile }{AM}}$ ) в точке $M$ , $l$ — длина части кривой $AB$ (дуги ${\stackrel {\smile }{AM}}$ ), отсчитываемая от точки $A$ до переменной точки $M\in AB$ , $dl$ и $d{\vec {l}}$ — соответственно скалярный и векторный элементы длины части кривой $AB$ (дуги ${\stackrel {\smile }{AM}}$ )^[5]^[6]^[7]^[8].

В координатной форме, то есть в трёхмерной декартовой системе координат, получаем^[6]:

\int _{AB}{\vec {a}}\,d{\vec {l}}=\int _{AB}X\,dx+Y\,dy+Z\,dz

.

Элемент циркуляции — векторное произведение ${\vec {a}}\,d{\vec {l}}=X\,dx+Y\,dy+Z\,dz$ ^[44].

Если вектор-функцию ${\vec {a}}(M)$ интерпретировать как физическое силовое поле, то рассмотренная циркуляция такого векторного поля ${\vec {a}}(M)$ вдоль кривой $AB$ есть механическая работа силы поля вдоль пути $AB$ ^[5]^[44].

В электродинамике такие интегралы с $d{\vec {l}}$ встречаются при вычислении циркуляций векторов напряжённости электрического и магнитного полей

\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}},\quad \oint {\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}

по замкнутому контуру, фигурирующих, в частности, в двух из четырёх уравнений Максвелла.

Элемент длины в приложениях при dl = dx (dy = 0)

Элемент объёма поперечных сечений

Пусть имеется произвольное тело, причём даны все площади $F(x)$ его сечений, которые параллельны плоскости $R$ , проходящей через начало координат и перпендикулярной оси $OX$ (см. рис.). Тогда объём этого тела равен следующему выражению:

V=\int _{a}^{b}F(x)\,dx

,

где $x$ — расстояние от сечения $F(x)$ до плоскости $R$ , $dx$ — элемент оси $OX$ , $F(x)dx$ — элемент объёма поперечных сечений, $a$ и $b$ — крайние значения координаты $x$ ^[45].

Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры

Определения

Пусть дана некоторая плоская фигура $AA'B'B$ (см. рис.) — криволинейную трапецию, которая ограничена сверху кривой $AB$ с явным уравнением неотрицательной функции $y=f(x)$ , и по этой фигуре равномерно распределена масса с постоянной поверхностной плотностью $\rho$ . Без умаления общности положим $\rho =1$ , то есть масса произвольной части фигуры равна её площади, что всегда подразумевается, когда рассматривают статические моменты (или центр тяжести) плоской фигуры^[46].

Вычислим статические моменты $M_{x}$ и $M_{y}$ криволинейной трапеции относительно осей координат. Рассмотрим произвольный элемент фигуры как бесконечно узкую вертикальную полоску (см. рис.). Аппроксимировав эту полоску прямоугольником, получаем её массу (и площадь) $ydx$ . Пусть масса полоски сосредоточена в её центре тяжести, то есть в центре прямоугольника, что не меняет величины статических моментов. Координаты этого центра тяжести $\left(x+{\frac {1}{2}}dx,\,{\frac {1}{2}}y\right)=\left(x,\,{\frac {1}{2}}y\right)$ , поскольку ${\frac {1}{2}}dx\cdot ydx$ есть бесконечно малая второго порядка. Поэтому получаем следующие элементарные статические моменты^[47]:

dM_{x}={\frac {1}{2}}y^{2}dx,\quad

dM_{y}=xydx.

После суммирования этих элементарных моментов получаем статистические моменты

M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx,\quad

M_{y}=\int _{a}^{b}xy\,dx,

где $y=f(x)$ ^[47].

Так же как и в случае статистических моментов кривой, теперь легко получить формулы для координат $x_{0}$ и $y_{0}$ центра тяжести плоской фигуры. Пусть $S$ — площадь (и масса) фигуры, тогда по основному свойству центра тяжести

Sx_{0}=M_{y}=\int _{a}^{b}xy\,dx,\quad

Sy_{0}=M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx,

откуда получаем следующие координаты центра тяжести^[48]:

x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y}={\frac {1}{S}}\int _{a}^{b}xy\,dx,\quad

y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}={\frac {1}{2S}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx.

Теорема Гульдина

Вторая теорема Гульдина. Объём тела вращения плоской фигуры около некоторой не пересекающей её оси равен произведению площади этой фигуры и длины окружности, которая описана центром тяжести этой фигуры^[49].

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести плоской фигуры

2y_{0}S=\int _{a}^{b}y^{2}\,dx

с формулой тела вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

V=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,dx

,

имеем интересное соотношение

V=2\pi y_{0}S

,

которое и доказывает теорему^[49].

Эти формулы справедливы и для такой фигуры, которая ограничена снизу и сверху кривыми соответственно

y_{1}=f_{1}(x),\quad

y_{2}=f_{2}(x),

в этом случае имеем следующие формулы статистических моментов^[49]^[50]:

M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}(y_{2}^{2}-y_{1}^{2})\,dx,\quad

M_{y}=\int _{a}^{b}x(y_{2}-y_{1})\,dx.

Преобразование формул для координат центра тяжести очевидны^[49]^[51]:

x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y}={\frac {1}{S}}\int _{a}^{b}x(y_{2}-y_{1})\,dx,\quad

y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}={\frac {1}{2S}}\int _{a}^{b}(y_{2}^{2}-y_{1}^{2})\,dx.

Поскольку площадь такой фигуры есть

S=\int _{a}^{b}(y_{2}-y_{1})\,dx

,

то вторая теорема Гульдина верна и здесь^[49]^[51].

Примеры

Статические моменты и центр тяжести фигуры, ограниченной параболой

Найдём оба статических момента $M_{x}$ и $M_{y}$ , а также обе координаты $x_{0}$ и $y_{0}$ центра тяжести плоской фигуры — криволинейной трапеции, которая ограничена сверху параболой $y^{2}=2px$ , снизу осью $x$ и сбоку прямой, параллельной оси ординат и соответствующей абсциссе $x$ . Исходя из уравнения параболы $y={\sqrt {2px}}$ и формул

Sx_{0}=M_{y}=\int _{0}^{x}xy\,dx,\quad

Sy_{0}=M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}y^{2}\,dx,

получаем следующие выражения для статистических моментов^[49]:

M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}2px\,dx={\frac {1}{2}}px^{2}={\frac {1}{4}}y^{2}x,

M_{y}=\int _{0}^{x}x{\sqrt {2px}}\,dx={\frac {2}{5}}{\sqrt {2p}}x^{\frac {5}{2}}={\frac {2}{5}}yx^{2}.

Вычислим площадь криволинейной трапеции^[49]:

S=\int _{0}^{x}{\sqrt {2px}}\,dx={\frac {2}{3}}{\sqrt {2p}}x^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}yx.

Теперь по формулам

x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y},\quad

y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}

находим следующие выражения для координат центра тяжести^[52]:

x_{0}={\frac {3}{5}}x,\quad

y_{0}={\frac {3}{8}}{\sqrt {2px}}={\frac {3}{8}}y.

По второй теореме Гульдина найдём объём тела вращения данной фигуры вокруг прямой, которой принадлежит правая граница фигуры^[52]:

V=2\pi (x-{\frac {3}{5}}x)S={\frac {8}{15}}\pi x^{2}y.

Центр тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды и осью абсцисс

Найдём координаты $x_{0}$ и $y_{0}$ центра тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды

x=a(t-\sin t),\quad

y=a(1-\cos t)

и осью абсцисс. Поскольку площадь и объём тела вращения данной фигуры около оси абсцисс соответственно равны

S=3\pi a^{2},\quad

V=5\pi ^{2}a^{3},

из соображений симметрии и по второй теореме Гульдина соответственно получаем^[52]:

x_{0}=\pi a,\quad

y_{0}={\frac {5}{6}}a.

Примечания

↑ Полярные координаты, 1988.
1 2 3 4 5 6 7 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 339. Дифференциал дуги, с. 572.
1 2 3 4 5 Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I, 1971, Глава 11. Геометрические… § 1. Длина дуги кривой. 6. Дифференциал дуги, с. 366.
1 2 3 4 5 6 7 8 Ефимов Н. В. Дифференциальная геометрия, 1988, § 338. Длина дуги плоской линии, с. 195.
1 2 3 Иванов А. Б. Векторный анализ, 1988, с. 111.
1 2 3 4 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава XIV. Векторное поле… § 3. Циркуляция поля… 2. Циркуляция вдоль линии, с. 245.
1 2 Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II, 1980, Глава 7. Формулы Грина, Стокса, Остроградского, с. 174—175; 186; 199—200.
1 2 Циркуляция векторного поля, 1984.
1 2 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 16.6. Плоские кривые, с. 274.
↑ Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I, 1983, § 6.7. Длина дуги кривой, с. 193.
1 2 Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс, 1985, Глава 10. Геометрические приложения определенного интеграла. § 1. Длина дуги кривой. 5. Дифференциал дуги, с. 403.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 338. Длина дуги плоской линии, с. 570.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 334. Схема применения определенного интеграла, с. 563.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 451. Двойной интеграл, с. 761.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I, 1971, Глава 11. Геометрические… § 1. Длина дуги кривой. 6. Дифференциал дуги, с. 366—367.
1 2 Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I, 1983, § 6.7. Длина дуги кривой, с. 194.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I, 1971, Глава 11. Геометрические… § 1. Длина дуги кривой. 6. Дифференциал дуги, с. 367.
1 2 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах, с. 573.
1 2 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах, с. 574.
↑ Цилиндрические координаты, 1988.
↑ Сферические координаты, 1988.
↑ Соколов Д. Д. Цилиндрические координаты, 1985.
↑ Соколов Д. Д. Сферические координаты, 1985.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 339. Дифференциал дуги, с. 573.
↑ Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 220, с. 511.
↑ Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 216, с. 498.
↑ Ефимов Н. В. Дифференциальная геометрия, 1988, § 338. Длина дуги плоской линии, с. 195—196.
1 2 Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 215, с. 493.
↑ Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 215, с. 493—484.
1 2 Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 215, с. 494.
1 2 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 341. Площадь поверхности вращения, с. 575.
↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.4. Площадь поверхности вращения, с. 506.
↑ Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I, 1983, § 10.4. Площадь поверхности тела вращения, с. 397.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 341. Площадь поверхности вращения, с. 575—576.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 341. Площадь поверхности вращения, с. 576.
↑ Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I, 1983, § 10.4. Площадь поверхности тела вращения, с. 398.
1 2 3 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.4. Площадь поверхности вращения, с. 507.
↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.5. Работа силы, с. 507—508.
↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.5. Работа силы, с. 508.
1 2 3 4 5 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 508.
1 2 3 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 509.
1 2 3 4 5 6 7 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 510.
↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 511.
1 2 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава XIV. Векторное поле… § 3. Циркуляция поля… 2. Циркуляция вдоль линии, с. 246.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 336. Объем тела по поперечным сечениям, с. 567.
↑ Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 386.
1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 387.
↑ Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 387—388.
1 2 3 4 5 6 7 Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 388.
↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. II, 1981, 49.2. Физические приложения кратных интегралов, с. 231.
1 2 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. II, 1981, 49.2. Физические приложения кратных интегралов, с. 232.
1 2 3 Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 389.

Источники

Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: «Наука», 1977. 871 с., ил.
Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: Физматлит, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2.
Ефимов Н. В. Дифференциальная геометрия // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 189—197.
Иванов А. Б. Векторный анализ // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 111—112.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I. 3-е изд., испр. и доп. М.: «Наука», 1971. 599 с. с илл. (Серия: «Курс высшей математики и математической физики». Выпуск 1 / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова).
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II. 2-е изд., стереотипное. М.: «Наука», 1980. 447 с. с илл. (Серия: «Курс высшей математики и математической физики». Выпуск 2а / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова).
Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. 2-е изд., перераб. / Под ред. А. Н. Тихонова. М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 с. с илл.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: «Высшая школа», 1981, т. I. 687 с., ил.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: «Высшая школа», 1981, т. II. 584 с., ил.
Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I. 3-е изд., перераб. и доп. М.: «Наука», 1983. 464 с., ил.
Полярные координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 475.
Соколов Д. Д. Сферические координаты // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 293.
Соколов Д. Д. Цилиндрические координаты // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 819—820.
Сферические координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 572.
Цилиндрические координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 625.
Циркуляция векторного поля // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: «Высшая школа», 1984. 527 с., ил. С. 506—507.
Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т. I. Изд. 6, стереотип. М.: «Наука», 1968. 440 с. с илл.

[_a35a3f45406633ab-1] Полярные координаты, 1988.

[_01efc2900a546175-2] 1 2 3 4 5 6 7 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 339. Дифференциал дуги, с. 572.

[_4c5048b71af46892-3] 1 2 3 4 5 Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I, 1971, Глава 11. Геометрические… § 1. Длина дуги кривой. 6. Дифференциал дуги, с. 366.

[_0ffd2d393cea14bf-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 Ефимов Н. В. Дифференциальная геометрия, 1988, § 338. Длина дуги плоской линии, с. 195.

[_b6254fb60d89c50a-5] 1 2 3 Иванов А. Б. Векторный анализ, 1988, с. 111.

[_2c12d3001fc84426-6] 1 2 3 4 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава XIV. Векторное поле… § 3. Циркуляция поля… 2. Циркуляция вдоль линии, с. 245.

[_c9276a955fea602b-7] 1 2 Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II, 1980, Глава 7. Формулы Грина, Стокса, Остроградского, с. 174—175; 186; 199—200.

[_311ed317b7d80329-8] 1 2 Циркуляция векторного поля, 1984.

[_dda0fdcaab94a400-9] 1 2 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 16.6. Плоские кривые, с. 274.

[_07d1ada336de198f-10] Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I, 1983, § 6.7. Длина дуги кривой, с. 193.

[_584569aa4ffad180-11] 1 2 Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс, 1985, Глава 10. Геометрические приложения определенного интеграла. § 1. Длина дуги кривой. 5. Дифференциал дуги, с. 403.

[_7cec36837813e4c3-12] Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 338. Длина дуги плоской линии, с. 570.

[_47f305e4b88fa512-13] Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 334. Схема применения определенного интеграла, с. 563.

[_e21f27f375d5a6b8-14] Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 451. Двойной интеграл, с. 761.

[_029647d80f1dd5b2-15] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I, 1971, Глава 11. Геометрические… § 1. Длина дуги кривой. 6. Дифференциал дуги, с. 366—367.

[_1306a8a33deec312-16] 1 2 Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I, 1983, § 6.7. Длина дуги кривой, с. 194.

[_569f2bb721426e19-17] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I, 1971, Глава 11. Геометрические… § 1. Длина дуги кривой. 6. Дифференциал дуги, с. 367.

[_87570a8400bf07cf-18] 1 2 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах, с. 573.

[_928c058407cfb152-19] 1 2 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах, с. 574.

[_260018c19f579861-20] Цилиндрические координаты, 1988.

[_8be0db1740d39b4e-21] Сферические координаты, 1988.

[_a10d28b7b0b4ff30-22] Соколов Д. Д. Цилиндрические координаты, 1985.

[_48da5cab557dc603-23] Соколов Д. Д. Сферические координаты, 1985.

[_f6c75f90034d918e-24] Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 339. Дифференциал дуги, с. 573.

[_7f4c970f80e36451-25] Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 220, с. 511.

[_55f2ac18f4d22c2a-26] Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 216, с. 498.

[_df264f44087ca84d-27] Ефимов Н. В. Дифференциальная геометрия, 1988, § 338. Длина дуги плоской линии, с. 195—196.

[_9d9710e724b04718-28] 1 2 Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 215, с. 493.

[_06b43b9f3eeecdf6-29] Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 215, с. 493—484.

[_b6bb01e732b12cd9-30] 1 2 Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 215, с. 494.

[_1309975c19450283-31] 1 2 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 341. Площадь поверхности вращения, с. 575.

[_40193ee85ff7d0ba-32] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.4. Площадь поверхности вращения, с. 506.

[_fbbc16d41a6a9006-33] Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I, 1983, § 10.4. Площадь поверхности тела вращения, с. 397.

[_5458f59c94b5c4f3-34] Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 341. Площадь поверхности вращения, с. 575—576.

[_f90e265c0a8eb982-35] Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 341. Площадь поверхности вращения, с. 576.

[_7b1dcbd461d81d43-36] Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I, 1983, § 10.4. Площадь поверхности тела вращения, с. 398.

[_439d21e860813721-37] 1 2 3 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.4. Площадь поверхности вращения, с. 507.

[_2713cf53468080b1-38] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.5. Работа силы, с. 507—508.

[_592984c71b479e89-39] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.5. Работа силы, с. 508.

[_62b1d27e6b08e735-40] 1 2 3 4 5 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 508.

[_5e566f7e69ca1b4e-41] 1 2 3 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 509.

[_82854e75f1e9a6ac-42] 1 2 3 4 5 6 7 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 510.

[_86226175f286c193-43] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 511.

[_460e44002e7e8d27-44] 1 2 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава XIV. Векторное поле… § 3. Циркуляция поля… 2. Циркуляция вдоль линии, с. 246.

[_2cc06566edf77d3b-45] Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 336. Объем тела по поперечным сечениям, с. 567.

[_98ec4c016fcbf304-46] Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 386.

[_a3575f017632c6cb-47] 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 387.

[_6056272ae6f12f70-48] Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 387—388.

[_a7c05a01777d1e5e-49] 1 2 3 4 5 6 7 Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 388.

[_aa298571e98544aa-50] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. II, 1981, 49.2. Физические приложения кратных интегралов, с. 231.

[_c34c7671f784756b-51] 1 2 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. II, 1981, 49.2. Физические приложения кратных интегралов, с. 232.

[_b2103d017dccd8c5-52] 1 2 3 Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 389.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]