Единичный вектор

Пример двух единичных векторов в двумерном пространстве.

Единичный вектор, или орт^[1], — вектор нормированного пространства, длина которого равна единице. Единичные вектора используются, в частности, для задания направлений в пространстве. Множество единичных векторов образует единичную сферу.

Единичный вектор часто обозначается строчной буквой с крышкой: $\mathbf {\hat {v}}$ .

Единичный вектор $\mathbf {\hat {v}}$ (нормированный вектор), коллинеарный с заданным $\mathbf {v}$ , определяется по формуле

\mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {\vec {v}} }{\lVert \mathbf {v} \rVert }}=\left({{\frac {\mathbf {\vec {v}} _{x}}{\mathbf {\lVert v\rVert } }},{\frac {\mathbf {\vec {v}} _{y}}{\mathbf {\lVert v\rVert } }},{\frac {\mathbf {\vec {v}} _{z}}{\mathbf {\lVert v\rVert } }}}\right)

где $\mathbf {\lVert {v}\rVert } ={\sqrt {\mathbf {\vec {v}} _{x}+\mathbf {\vec {v}} _{y}+\mathbf {\vec {v}} _{z}}}$ - есть длина (скалярная величина) вектора $\mathbf {\vec {v}}$ .

Стоит также отметить, что компоненты (координаты) единичного вектора $\mathbf {\hat {v}}$ являются углами:

$\cos \alpha ={\frac {\mathbf {\vec {v}} _{x}}{\mathbf {\lVert v\rVert } }}$

$\cos \beta ={\frac {\mathbf {\vec {v}} _{y}}{\mathbf {\lVert v\rVert } }}$
$\cos \gamma ={\frac {\mathbf {\vec {v}} _{z}}{\mathbf {\lVert v\rVert } }}$

В качестве базисных часто выбираются именно единичные векторы, так как это упрощает вычисления. Такие базисы называют нормированными.

Другие системы координат

Декартова система координат

Единичные векторы могут представлять собой оси в Декартовой системе координат. К примеру, стандартные единичные векторы в направлениях $x,y$ , и $z$ в трёхмерном пространстве являются:

\mathbf {\hat {i}} \,\,\mathbf {=} \,\mathbf {{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,} \mathbf {\hat {j}} \,\,\mathbf {=} \,\mathbf {{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,} \mathbf {\hat {k}} \,\,\mathbf {=} \,\mathbf {\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}

Эти векторы являются взаимно ортогональными и такой базис называют ортонормированным базисом, или стандартным базисом в линейной алгебре.

Для обозначения единичных векторов также используеться и другая нотация, к примеру $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ , $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ , $(\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})$ , или $(\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})$ .

Общие обозначения

Общая нотация единичных векторов встречается в физике и геометрии.

Единичный вектор	Нотация	Диаграмма
Вектор касательной	$\mathbf {\hat {t}}$	Образование вектора нормали $\mathbf {\hat {n}}$ к плоскости при помощи радиального вектора $r\mathbf {\hat {r}}$ , а также углового компонента поворота $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ необходимо для того чтобы векторные уравнения углового движения выполнялись.
Вектор нормали к поверхности/плоскости содержащей радиальный компонент и угловой компонент	$\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$
Бинормальный вектор к касательной и нормали	$\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}}$
Единичный вектор коллинеарен к оси/линии	$\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$	Единичный вектор $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ выровнен параллельно в неком направлении (голубая линия), и ортогональный единичный вектор $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ .
Единичный вектор ортогонален к оси/линии	$\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$
Единичный вектор отклонен на некий угол относительно оси/линии	$\mathbf {\hat {e}} _{\angle }$	Единичный вектор $\mathbf {\hat {e}} _{\angle }$ отклонен на угол φ (от 0 до $\pi$ /2 радиан) относительно оси/линии.

См. также

Примечания

↑ Большая советская энциклопедия

[1] Большая советская энциклопедия

[1]