Лемма Чеботарёва

Ле́мма Чеботарёва^{[комм 1][комм 2]} — лемма о линейности аналитической функции, принимающей в комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$ на вещественной оси вещественные значения. Эта лемма была опубликована Н. Г. Чеботарёвым в 1928 году на немецком языке в журнале Mathematische Annalen как вспомогательная для доказательства теоремы Чеботарёва о представлении вещественной мероморфной функции (математическая история построения этой теоремы изложена Чеботарёвым в его «Математической автобиографии»^[1]). Здесь сформулирована современная трактовка леммы Чеботарёва, представляющая собой эквивалентную версию, обратную противоположной первоначальной^[2][3][4].

Для упрощения текста леммы Чеботарёва введём понятие целой вещественной функции^[2].

Целая вещественная функция — целая функция, принимающая вещественные значения на вещественной оси^[2].

Доказательство. Сразу получаем из условия леммы и принципа симметрии, что ${\displaystyle \operatorname {Im} f(z)\leqslant 0}$ при ${\displaystyle \operatorname {Im} z\leqslant 0}$. Кроме того, приращение аргумента комплексного числа ${\displaystyle \operatorname {Arg} f(z)}$ на произвольной окружности не превышает ${\displaystyle 2\pi }$, следовательно, у функции ${\displaystyle f(z)}$ не более одного вещественного корня ${\displaystyle x_{0}}$^[2].

Сконструируем функцию

${\displaystyle \varphi (z)={\frac {f(z)}{z-x_{0}}}}$,

у которой нет ни одного корня, причём главное значение её аргумента ${\displaystyle |\operatorname {arg} \varphi (z)|\leqslant \pi }$ на всей комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$. Тогда целая функция ${\displaystyle w(z)=\ln \varphi (z)}$ переводит всю комплексную плоскость на полосу ${\displaystyle |\operatorname {Im} w|\leqslant \pi }$^[2].

Отсюда следует, что, поскольку функция ${\displaystyle u(z)={\frac {1}{w(z)-2\pi i}}}$ ограничена на всей комплексной плоскости, ${\displaystyle |u(z)|\leqslant \pi }$, то получаем по теореме Лиувилля следующую цепочку тождеств^[2]:

${\displaystyle u(z)\equiv \mathrm {const} }$, ${\displaystyle \quad w(z)\equiv \mathrm {const} }$, ${\displaystyle \quad \varphi (z)\equiv \mathrm {const} }$. □

Замечание. Условие аналитичности функции на всей комплексной плоскости, то есть условие целой функции, можно заменить на более слабое условие аналитичности функции в открытой верхней полуплоскости и её непрерывности в замкнутой верхней полуплоскости (аналогичный случай более слабого условия возникает при формулировке неравенства Коши)^[5].

Эта лемма используется, например, при доказательстве линейности голоморфного автоморфизма области Зигеля 1-го рода^[5] и пяти других теорем^[6], в том числе вышеупомянутой теоремы Чеботарёва о представлении вещественной мероморфной функции^[7] и теоремы Крейна о принадлежности целой функции классу НВ^[8].

Первоначальный вариант леммы Чеботарёва в современных обозначениях записывается в следующем виде^[9]:

на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$ у целой вещественной функции ${\displaystyle f(z)}$, которая не является линейной функцией, её мнимая часть ${\displaystyle \operatorname {Im} f(z)}$ на верхней полуплоскости принимает произвольно большие значения любого знака.

• Левин Б. Я. Распределение корней целых функций (рус.). — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. — 632 с., ил.
• Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций (рус.). — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1961. — 191 с. — (Современные проблемы математики). — 5000 экз.
• Чеботарёв Н. Г. Математическая автобиография // Николай Григорьевич Чеботарёв (1894—1947) (рус.) / под. ред. М. М. Арсланова, Ю. А. Альпина. — Казань: Издательство Казанского университета, 2019. — С. 105—193. — 335 с., ил. — 300 экз. — ISBN 978-5-00130-169-1.
• Чеботарёв Н. Г. О вещественности нулей целых трансцендентных функций // Н. Г. Чеботарёв. Собрание сочинений = Nikolaj Tschebotareff. Über die Realität Nullstellen ganzer transzendenter Funktionen (Math. Ann. 99, 660—686, 1928) (рус.) / пер. с нем. проф. В. В. Морозова, отв. ред. чл.-кор. АН СССР Б. Н. Делоне. — М.—Л.: Издательство Академии Наук СССР, 1949. — Т. 2. — С. 29—56. — 419 с., ил. — 2000 экз.
• Nikolaj Tschebotareff. Über die Realität Nullstellen ganzer transzendenter Funktionen (нем.) // Mathematische Annalen : журнал. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1928. — Bd. 99. — P. 660—656.