Область Зигеля

Обозначим через ${\displaystyle V}$ открытый выпуклый конус в вещественном ${\displaystyle n}$-мерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, причём пересечение конуса ${\displaystyle V}$ с произвольной прямой пространства есть либо отрезок, либо полупрямая. В этом разделе используются только такие конусы^[5].

Область Зигеля 1-го рода^{[комм 1]} — неограниченное множество ${\displaystyle D(V)}$ точек ${\displaystyle n}$-мерного комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z),}$ ${\displaystyle D(V)\subset \mathbb {C} ^{n}(z)}$^[1][5]:

${\displaystyle D(V)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z=x+iy,\,x\in \mathbb {R} ^{n},\,y\in V\}.}$

При ${\displaystyle n=1}$ одномерный конус одномерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — это полупрямая, поэтому верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля 1-го рода^[1].

Теорема 1. Произвольная область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ биголоморфно эквивалентна некоторой ограниченной области^[5].

Доказательство. По условию конус ${\displaystyle V}$ не может включать целую прямую, следовательно, имеется система координат такая, что в ней конус ${\displaystyle V}$ принадлежит следующему ортанту^[5]:

${\displaystyle y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0,}$

Отсюда получаем, что произвольная область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ принадлежит следующей ${\displaystyle n}$-мерной области^[5]:

${\displaystyle \operatorname {Im} z_{1}>0,\,\operatorname {Im} z_{2}>0,\,\dots ,\,\operatorname {Im} z_{n}>0,}$

А эта область, в свою очередь, биголоморфно эквивалентна прямому произведению ${\displaystyle n}$ кругов, которое ограничено^[5]. □

Остов области Зигеля 1-го рода — та часть границы ${\displaystyle \partial D(V)}$ области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$, которая состоит из точек вида ${\displaystyle z=x}$^[5].

Теорема 1 (об автоморфизме остова). Остов области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ переходит сам в себя при любом автоморфизме области ${\displaystyle D(V)}$, голоморфном в замыкании области ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$^[6].

Доказательство. Обозначим через ${\displaystyle H_{\overline {D(V)}}}$ множество всех голоморфных в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$ функций, которые имеют максимум в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$. Тогда для любой голоморфной функции ${\displaystyle f(z)\in H_{\overline {D(V)}}}$ найдётся точка остова, в которой функция ${\displaystyle f(z)}$ имеет максимум модуля^[5].

Обратно, для любой точки остова ${\displaystyle z'=(x'_{1},\,x'_{2},\,\dots ,\,x'_{n})}$ найдётся голоморфная функция ${\displaystyle f(z)\in H_{\overline {D(V)}}}$ с максимумом модуля в этой точке, например, следующая голоморфная функция^[5]:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z_{1}-x'_{1}+i)(z_{2}-x'_{2}+i)\cdots (z_{n}-x'_{n}+i)}}}$. □

Прим доказательстве теоремы понадобится следующая формулировка леммы Чеботарёва^[6].

Лемма 1 (Чеботарёв). На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (\zeta )}$ функция ${\displaystyle f(\zeta )}$, аналитическая в открытой верхней полуплоскости ${\displaystyle \operatorname {Im} \zeta >0}$ при условии ${\displaystyle \operatorname {Im} f(\zeta )>0}$, непрерывная в замкнутой верхней полуплоскости ${\displaystyle \operatorname {Im} \zeta \geqslant 0}$ и принимающая вещественные значения на вещественной оси может быть представлена на верхней полуплоскости в следующем линейном виде:

${\displaystyle f(\zeta )=a\zeta +b}$,

где ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle b}$ — вещественные числа^[7][6].

Теорема 1. Произвольный голоморфный автоморфизм области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$, непрерывный в замыкании ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$, имеет следующий матричный линейный вид:

${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} +\mathbf {b} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — аффинное преобразование вещественного конуса ${\displaystyle V}$ на себя самого, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — вещественный вектор^[6].

Предложение. Произвольная ограниченная область комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ всегда содержит объём, инвариантный относительно её голоморфных автоморфизмов^[8].

Найдём формулу инвариантного элемента объёма в области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$. Пусть

${\displaystyle dv=\lambda (x,\,y)dxdy,}$

где

${\displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$, ${\displaystyle \quad dy=dy_{1}dy_{2}\dots dy_{n}}$.

Так как для области ${\displaystyle D(V)}$ возможно преобразование вида ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {z} +\mathbf {b} }$, где ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — произвольный вещественный вектор, то коэффициент ${\displaystyle \lambda }$ не зависит от ${\displaystyle x}$, то есть инвариантный элемент объёма в области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ имеет следующий вид^[8]:

${\displaystyle dv=\lambda (y)dxdy.}$

Кроме того, если ${\displaystyle \mathbf {y} \to \mathbf {Ay} }$ есть аффинное преобразование конуса ${\displaystyle V}$, то тогда ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} }$ — преобразование области ${\displaystyle D(V)}$, следовательно, имеем следуюшее равенство^[8]:

${\displaystyle \lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}=\lambda (\mathbf {y} )}$.

Математически интересны аналитически однородные области ${\displaystyle D(V)}$. Область ${\displaystyle D(V)}$ аналитически однородна, если конус ${\displaystyle V}$ линейно однороден, то есть для произвольных двух точек ${\displaystyle y_{1},\,y_{2}\in V}$ найдётся аффинное преобразование конуса ${\displaystyle V}$ на себя такое, что точка ${\displaystyle y_{1}}$ переходит в точку ${\displaystyle y_{2}}$. В таких областях инвариантный элемент объёма ${\displaystyle \lambda (\mathbf {y} )=\lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}}$^[8].

Предложение 1. Если ${\displaystyle V_{1}\in \mathbb {R} ^{n_{1}}}$, ${\displaystyle V_{2}\in \mathbb {R} ^{n_{2}}}$ — однородные конусы, то множество всех точек ${\displaystyle (y_{1},\,y_{2})}$, ${\displaystyle y_{1}\in V_{1}}$, ${\displaystyle y_{2}\in V_{2}}$, составляет однородный конус в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}}$^[8].

Неприводимый конус — конус, который нельзя разложить на два конуса как в предыдущем абзаце^[8].

Рассмотрим связь областей Зигеля 1-го рода с классическими областями — неприводимыми симметрическими, аналитически эквивалентными неприводимым конусам^[8].

1. 1 2 3 4 5 6 Перевод на английский см. в закладке «Обсуждение» статьи.

1. 1 2 3 4 5 6 Винберг Э. Б. Зигеля область, 1979.
2. 1 2 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, Введение, с. 10.
3. ↑ Siegel C. L. Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades, 1939.
4. ↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, Глава 1. Области Зигеля, с. 13.
5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, $ 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 14.
6. 1 2 3 4 5 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, $ 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 15.
7. ↑ Левин Б. Я. Распределение корней целых функций, 1956, § 2. Представление функции, гармонической в полуплоскости, с. 299.
8. 1 2 3 4 5 6 7 8 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, $ 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 16.