Линзовое пространство

Линзовое пространство — многообразие нечётной размерности, являющееся факторпространством ${\displaystyle S^{2n-1}/\mathbb {Z} _{p}}$ сферы ${\displaystyle S^{2n-1}}$ по изометрическому свободному действию циклической группы ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

Сферу ${\displaystyle S^{2n-1}}$ всегда возможно расположить в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ с фиксированным базисом, так чтобы образующая ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, действовала на каждой координате ${\displaystyle z_{i}}$ умножениями на ${\displaystyle \xi _{p}^{q_{i}}}$ где ${\displaystyle \xi _{p}=\exp {2\pi i/p}}$. Такое действие является свободным тогда и только тогда, когда для каждого ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle q_{i}}$ взаимнопросто с ${\displaystyle p}$. Это пространство обычно обозначается ${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})}$.

Фундаментальную область действия ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ на ${\displaystyle S^{2n-1}}$ удобно представлять себе в виде «линзы» — пересечение двух полусфер — откуда и возникло название «линзовое пространство».

Прямой предел ${\displaystyle S^{\infty }/\mathbb {Z} _{p}}$ линзовых пространств при ${\displaystyle n\to \infty }$ даёт асферическое пространство, а точнее пространство Эйленберга — Маклейна типа ${\displaystyle K(\mathbb {Z} _{p},1)}$. В трёхмерном случае линзовое пространство совпадают с многообразиями, имеющими диаграмму Хегора рода 1, и поэтому они являются многообразиями Зейферта.