Неравенство Коши для аналитической функции

Замечание. Условие аналитичности функции в открытом круге и её непрерывности в замыкании круга можно заменит на более простое, но и более сильное условие аналитичности функции в замкнутом круге^[4].

Доказательство. По интегральной формуле Коши

${\displaystyle f^{(k)}(z_{0})={\frac {k!}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{(w-z_{0})^{k+1}}}}$,

где ${\displaystyle \Gamma }$ — окружность ${\displaystyle |z-z_{0}|=R}$. После оценки этого интеграла получается искомые неравенства Коши^[13][11][7]:

${\displaystyle |f^{(k)}(z_{0})|\leqslant {\frac {k!}{2\pi }}M{\frac {2\pi R}{R^{k+1}}}={\frac {Mk!}{R^{k}}}}$.

Замечание. Эта теорема говорит о том, что увеличение значений производных аналитической функции при ${\displaystyle k\to \infty }$ не произволен, поскольку связан с расстоянием до границы области аналитичности^[13].

Синоним: неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда^[14].

Замечание. Условие аналитичности функции в замкнутом круге можно заменит на более слабое условие аналитичности функции в открытом круге и её непрерывности на границе круга^[3].

Доказательство. По интегральной формуле Коши

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{(w-z_{0})^{k+1}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,\dots ,}$

откуда при ${\displaystyle |f(w)|\leqslant M}$ для всех точек ${\displaystyle w\in \Gamma }$ получаем следующие неравенства^{[4][20][17][18][19]}:

${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{R^{k+1}}}2\pi R={\frac {M}{R^{k}}}.}$ □

Альтернативная формулировка теоремы состоит в следующем^[7].

Доказательство. Неравенство получается при использовании неравенств Коши для производных аналитических функций^[7]. □

Доказательство 1. По интегральной формуле Коши

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{(w-z_{0})^{k+1}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\dots .}$

откуда при ${\displaystyle |f(w)|\leqslant M}$ для всех точек ${\displaystyle w\in V}$ получаем следующие неравенства^{[15][22][23][24][26]}:

${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{\rho ^{k+1}}}2\pi \rho ={\frac {M}{\rho ^{k}}}.}$ □

Эту теорему можно также доказать напрямую, без использования интегральной формулы Коши^[27].

Значение неравенств Коши состоит в том, что они оценивают производные аналитических функций, хотя и завышенные, используя лишь значение максимума модуля функции ^[28].

Оценка, даваемые неравенствами Коши

${\displaystyle |f^{(k)}(z_{0})|\leqslant {\frac {M(R)k!}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,}$

при заданных числах ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle z_{0}}$, зависит от значения радиуса ${\displaystyle R}$, который произволен в пределах ${\displaystyle 0<R<d(z_{0},\,\partial D)}$, где ${\displaystyle d(z_{0},\,\partial D)}$ — расстояние от точки комплексной плоскости ${\displaystyle z_{0}}$ до границы ${\displaystyle \partial D}$ области ${\displaystyle D}$ аналитичности функции ${\displaystyle f(z)}$^[29].

Для наиболее точной оценки находят минимум функции ${\displaystyle {\frac {M(R)}{R^{k}}}}$ и выбирают именно такой радиус ${\displaystyle R}$, при котором функция ${\displaystyle {\frac {M(R)}{R^{k}}}}$ достигает своего минимума^[29].

Пример 1. Пусть: 1) область ${\displaystyle D}$ аналитичности функции ${\displaystyle f(z)}$ — это единичный открытый круг ${\displaystyle |z|<1}$; 2) точка комплексной плоскости ${\displaystyle z_{0}}$, где осуществляется оценка производных, — это центр ${\displaystyle z=0}$ этого круга; 3) функция ${\displaystyle M(R)}$ отвечает следующему неравенству^[29]:

${\displaystyle M(R)\leqslant {\frac {1}{1-R}}}$.

Тогда из неравенства

${\displaystyle |f^{(k)}(z_{0})|\leqslant {\frac {M(R)k!}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,}$

получаем следующее более конкретное неравенство^[29]:

${\displaystyle |f^{(k)}(0)|\leqslant {\frac {k!}{(1-R)R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle 0<R<1.}$

Для получения самой лучшей оценки найдём минимум функции ${\displaystyle {\frac {1}{(1-R)R^{k}}}}$, другими словами, найдём максимум функции ${\displaystyle (1-R)R^{k}}$ в интервале ${\displaystyle (0,\,1)}$. Используя стандартные правила дифференциального исчисления:

${\displaystyle {\frac {\partial (1-R)R^{k}}{\partial R}}=-R^{k}+(1-R)kR^{k-1}=R^{k-1}(k-R(k+1))}$,

получаем, что искомый экстремум достигается при радиусе ${\displaystyle R={\frac {k}{k+1}}}$ и равен следующей величине^[28]:

${\displaystyle (k+1)\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}<e(k+1).}$

Окончательно получаем^[28]:

${\displaystyle |f^{(k)}(0)|\leqslant e(k+1)!.}$

Пример 2. Рассмотрим частный случай примера 1, когда исходная функция имеет следующий вид^[28]:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1-z}}}$.

Эта функция аналитическая в единичном круге, причём для этой функции ${\displaystyle M(R)={\frac {1}{1-R}}}$^[28].

В итоге непосредственные вычисления дают следующие равенства^[28]:

${\displaystyle f^{(k)}(z)={\frac {k!}{(1-z)^{k+1}}},\quad f^{(k)}(0)=k!.}$

1. Ряд Тейлора. Рассмотрим некоторое усиление неравенств Коши, сначала для ряда Тейлора^[26].

Доказательство. Представим ${\displaystyle |f(z)|^{2}}$ в следующем виде^[30]:

${\displaystyle |f(z)|^{2}=f(z){\overline {f(z)}}=\left(\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }c_{k_{1}}(z-z_{0})^{k_{1}}\right)\left(\sum \limits _{k_{2}=0}^{\infty }{\overline {c_{k_{2}}}}({\overline {z-z_{0}}})^{k_{2}}\right)}$.

Запишем иначе разность ${\displaystyle z-z_{0}=re^{i\theta }}$, получим^[30]:

${\displaystyle |f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}=\left(\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }c_{k_{1}}(re^{i\theta })^{k_{1}}\right)\left(\sum \limits _{k_{2}=0}^{\infty }{\overline {c_{k_{2}}}}({\overline {re^{i\theta }}})^{k_{2}}\right)}$.

Перемножим ряды в правой части равенства и проинтегрируем равенство почленно по окружности при ${\displaystyle \theta \in [0,\,2\pi )}$^[30]:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\sum \limits _{k=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{2\pi }c_{k}{\overline {c_{k}}}(re^{i\theta })^{k}(re^{-i\theta })^{k}d\theta +{}}$

${\displaystyle {}+{\frac {1}{2\pi }}\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }\sum \limits _{k_{2}=k_{1}+1}^{\infty }r^{k_{1}+k_{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }(c_{k_{1}}{\overline {c_{k_{2}}}}(e^{-i\theta })^{k_{2}-k_{1}}+{\overline {c_{k_{1}}}}c_{k_{2}}(e^{i\theta })^{k_{2}-k_{1}})d\theta +{}}$

${\displaystyle =\sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}}$.

Поскольку, по интегральной теореме Коши, интегралы по окружности от аналитических членов ряда с ${\displaystyle k_{1}\neq k_{2}}$ равны нулю, окончательно имеем^[30]:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}d\theta =\sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}}$. □

Доказательство. По предыдущей теореме получаем^[30]:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}d\theta \leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }M(r)^{2}d\theta =M(r)^{2}}$. □

Доказательство. По усиленному неравенству Коши для указанного ${\displaystyle r}$

${\displaystyle M(r)^{2}+\sum _{\begin{smallmatrix}k=0\\k\neq k_{0}\end{smallmatrix}}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}\leqslant M(r)^{2}}$,

следовательно,

${\displaystyle c_{k}=0,\quad }$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\quad }$ ${\displaystyle k\neq k_{0},}$

поэтому

${\displaystyle f(z)=C(z-z_{0})^{k_{0}}}$,

где ${\displaystyle |C|r^{k_{0}}=M(r)}$^[30]. □

Следствие. Сразу два разные неравенства Коши суть равенства тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f(z)\equiv 0}$^[30].

2. Ряд Лорана. Теперь приведём усиление неравенств Коши для ряда Лорана^[26].

Доказательство. Доказательство совпадает с доказательством аналогичной теоремы для ряда Тейлора^[26].

Доказательство. Доказательство совпадает с доказательством аналогичной теоремы для ряда Тейлора^[26].

Доказательство. Доказательство совпадает с доказательством аналогичной теоремы для ряда Тейлора^[26].

Значение неравенств Коши состоит в том, что они оценивают производные аналитических функций, хотя и завышенные, используя лишь значение максимума модуля функции ^[28].

Неравенства Коши непосредственно приводят к следующей теореме^[2][28].

Доказательство. Доказательство основано на неравенствах Коши для производных аналитических функций. Зафиксируем в этих неравенствах радиус ${\displaystyle R<d(z_{0},\,\partial D)}$ и извлечём из обеих частей неравенств корень степени ${\displaystyle k}$^[28]:

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}\leqslant {\frac {\sqrt[{k}]{M}}{R}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots .}$

Поскольку ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{M}}=1}$, то получаем следующие неравенства для верхних пределов^[28]:

${\displaystyle {\overline {\lim _{k\to \infty }}}{\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}\leqslant {\frac {1}{R}}}$.

Учитывая, что в последних неравенствах радиус ${\displaystyle R<d(z_{0},\,\partial D)}$ — произвольное положительное число, то перейдём к пределу при ${\displaystyle R\to d(z_{0},\,\partial D)}$, окончательно имеем^[28]:

${\displaystyle {\overline {\lim _{k\to \infty }}}{\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}\leqslant {\frac {1}{d(z_{0},\,\partial D)}}}$. □

Неравенство Коши — Адамара говорит о том, что величина оценки

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sup {\sqrt[{k}]{\frac {f^{(k)}(z_{0})}{k!}}}}$,

которая зависит от значений производных аналитических функций в некоторой точке ${\displaystyle z_{0}\in D}$, связана обратной зависимостью с расстоянием точки ${\displaystyle z_{0}}$ до границы области, а именно: эта величина оценки не может быть большой при большом расстоянии до границы, там, где граница области аналитически далека от точки ${\displaystyle z_{0}}$^[32].

Следствие. Если функция ${\displaystyle f(z)}$ целая, то в произвольной точке ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ верно следующее равенство^[2][33]:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sup {\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}=0}$.

Доказательство. Для целых функций, аналитических во всей комплексной плоскости, единственная граничная точка области находится в бесконечности, поэтому для любой точки ${\displaystyle z_{0}}$ плоскости расстояние ${\displaystyle d(z_{0},\,\partial D)=\infty }$, то есть ${\displaystyle {\frac {1}{d(z_{0},\,\partial D)}}=0}$^[33]. □

Пример. Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(z)=\exp z}$. При любом ${\displaystyle k}$ имеем: ${\displaystyle f^{(k)}(z)=\exp z}$, поэтому ${\displaystyle |f^{(k)}(z)|=|\exp z|=e^{x}}$. Для целой части ${\displaystyle m=\left[{\frac {k}{2}}\right]}$ получаем^[33]:

${\displaystyle k!\geqslant k(k-1)\dots (k-m+1)>m^{k-m}}$,

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{k!}}>m^{1-{\frac {m}{k}}}\geqslant {\sqrt {m}}}$,

следовательно,

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}<{\frac {e^{\frac {x}{k}}}{\sqrt {\left[{\frac {k}{2}}\right]}}}\to 0}$ при ${\displaystyle k\to \infty }$.

Неравенства Коши для комплексного пространства доказываются аналогично неравенствам Коши для комплексной плоскости. Сформулируем одну из теорем неравенств Коши — о неравенствах Коши для производных аналитических функций — для случая нескольких комплексных переменных^{[34][2][35][36][37][38][39][10][7]}.