Основная гипотеза комбинаторной топологии

Основная гипотеза комбинаторной топологии (нем. Hauptvermutung) — гипотеза, утверждающая, что любые две триангуляции одного пространства допускают изоморфные подразбиения. Сформулирована в 1908 году Эрнстом Штайницем и Генрихом Титце. Впоследствии опровергнута в общем виде; более того, она оказалась неверной для некоторых многообразий размерности 4 и выше.

Контрпример к общему случаю был построен Джоном Милнором в 1961 году с помощью кручения Райдемейстера^[1].

Для многообразий гипотеза верна в размерностях 2 и 3. Эти случаи были доказаны Тибором Радо и Эдвином Моизом в 1920-х и 1950-х годах, соответственно^[2].

Препятствие к выполнению гипотезы для многообразий было найдено Кэссоном и Деннисом Салливаном в 1967—1969 годах с использованием инварианта Рохлина.

Гомеоморфизм ${\displaystyle f\colon N\to M}$ между ${\displaystyle m}$-мерными кусочно-линейными многообразиями имеет инвариант ${\displaystyle \kappa (f)\in H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ такой, что для ${\displaystyle m\geqslant 5}$ ${\displaystyle f}$ изотопeн кусочно-линейному гомеоморфизму тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \kappa (f)=0}$.

Препятствие к выполнению гипотезы является относительным вариантом класса Кёрби — Зибенманна и определяется для любого компактного ${\displaystyle m}$-мерного топологического многообразия:

${\displaystyle \kappa (M)\in H^{4}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

с использованием инварианта Рохлина. Для ${\displaystyle m\geqslant 5}$ ${\displaystyle M}$ имеет кусочно-линейную структуру (то есть допускает триангуляцию кусочно-линейным многообразием) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \kappa (M)=0}$, и в этом случае кусочно-линейные структуры определяются элементом ${\displaystyle H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$. В частности, существует только конечное число различных кусочно-линейных структур на ${\displaystyle M}$.

Для компактных односвязных многообразий размерности 4 Саймон Дональдсон нашёл примеры с бесконечным числом неэквивалентных кусочно-линейных структур, и Михаил Фридман нашёл E8-многообразие, которое также не допускает триангуляции.

В 2013 году Киприан Манолеску доказал существование компактных многообразий размерности 5 (и, следовательно, любой размерности больше 5), которые не допускают триангуляции^[3].